A New 3D Visualization Method for Rock Mass Fractures and Its Application
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摘要: 快速准确地识别岩体裂隙的三维分布特征是西南山区铁路防灾减灾的关键.本研究提出了一套岩体裂隙可视化新方法，基于测窗调查的裂隙数据，依托球坐标及极射赤平投影进行数字化处理及降维，利用K-Means++聚类算法、Fisher分布模型和蒙特卡洛模拟，完成裂隙产状数据的自动分组和模拟，最后运用Python及圆盘模型实现岩体裂隙三维可视化.本研究采用坐标变换和三角网格曲面的方式，更有利于与其他三维建模软件嵌套分析.水电站工程的先行应用研究表明产状数据服从Fisher分布，本文的模型相对于传统玫瑰花图和施密特图有着一定的优势.因此，本文建立的岩体裂隙模型具有直观快速反映区域裂隙网络三维分布特征的优点，研究成果可以直接服务于西南山区铁路施工阶段隧道掌子面及洞壁的节理裂隙三维识别以及防灾减灾研究.Abstract: Identifying the three-dimensional distribution characteristics of rock mass fractures quickly and accurately is the key to the prevention and reduction of disasters on the railway in the mountainous area of southwest China. In this study, a new method for rock mass fracture visualization is proposed. The digital processing and dimension reduction of data are completed by the spherical coordinates and polar stereographic projection. K-Means++ clustering algorithm, Fisher distribution model and Monte Carlo simulation are used for automatic fracture occurrence data classification and simulation. Finally, the 3D visualization of fracture data is realized by Python and disc model. This research adopts coordinate transformation and triangular mesh surface, which is more conducive to nested analysis with other 3D modeling software. The advance application research of Hydropower Station project shows that the occurrence data correspond to Fisher distribution, and the model in this paper has certain advantages over the traditional rose chart and Schmidt chart. Therefore, the rock mass fracture model established in this paper describes the 3D distribution characteristics of regional fracture network intuitively and quickly. The research results can be directly applied to the fracture 3D visualization of tunnel face image and future disaster prevention and reduction of the railway in the mountain area of southwest China.
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0. 引言
裂隙是岩体在应力作用下破裂变形而形成的断裂构造，在边坡稳定性分析（李树武，2012）、构造应力场分布（刘泉声等，2011）、岩体力学特性分析（赵建军等，2019）、地下水运移（周海涛，2017；尹乾，2017；Romano et al.，2020）、隧洞涌水量估计（吴建等，2019）、地热资源开发（高俊义，2017；张洪伟，2019，2021）等领域的研究中是重要的研究对象.离散裂隙网络模型（discrete fracture network，简称DFN模型）最早由Baecher et al.（1977）提出，是裂隙可视化中广泛应用的模型，其中目前被公认且具有真正现实意义的只有圆盘模型和多边形模型（刘竹，2017）.Baecher同时也指出裂隙结构面可以用圆形或椭圆形表示，Long et al.（1982，1985）在此基础上对裂隙网络渗流特性进行了大量研究.圆盘模型因简便、实用的优点，被广泛用于DFN模型的可视化研究（叶茂，2014）.离散裂隙网络模型的构建以岩体裂隙的产状、迹长、位置等参数的统计学分布为基础（张文，2013），目前构建的模型分为两类：一类为计算机仿真模拟，如占洁伟（2019）利用蒙特卡洛模拟对松塔水电站坝肩裂隙数据进行三维表征模拟；而另一类则通过模型实验，如黄娜等（2021）运用3D打印技术模拟构建了离散裂隙网络模型.迄今，DFN模型的构建已经是一个比较成熟的技术，已经得到众多工程实例的验证（夏露，2011；李冬伟等，2020；刘博，2020）.但是构建DFN模型需要精确的裂隙数据（包括产状、迹长等），并且地下深部岩体裂隙的精确数据难以获取，因而目前大部分DFN模型都是以地表露头的裂隙数据为基础构建的模拟模型（Yin and Chen，2020；Smeraglia et al.，2021）.
建设中的西南山区某铁路工程穿越11条活动断裂带，沿线新构造运动活跃，岩体裂隙十分发育，易引发围岩失稳和隧道涌突水灾害，是西南山区某铁路工程建设所面临的重大挑战（潘桂棠等，2020；王立全等，2021；尹福光等，2021）.因此，探明岩体裂隙的三维分布特征成为西南山区某铁路工程防灾减灾工作的重要地质基础.西南山区某铁路工程沿线高山峡谷区自然地理条件恶劣（高海拔、强风、寒冷和地形高陡等），使得钻孔调查、地球物理勘察和无人机航拍等方法不易广泛开展（何忱等，2019；张文等，2020；陈金龙等，2021；熊开治等，2021；陈兴强，2022）.岩体露头测窗调查方法以其灵活便捷的优势，可以在不同地质环境中开展调查工作，成为适用于西南山区某铁路工程岩体裂隙三维分布特征研究的主要工作手段（张杨等，2020；Martinelli et al.，2020；Wang et al.，2021）.但是，目前对裂隙产状的分析大多采用玫瑰花图、吴氏网等方法，难以直观反映研究区裂隙网络的三维分布特征.如何通过分析有限的裂隙产状数据，快速、可视化地建立裂隙网络，是当前西南山区某铁路工程建设过程中亟待解决的难题.
本文在前人研究的基础上，提出了一种通过分析有限的裂隙产状数据建立三维离散裂隙网络模型（简称裂隙网络模型）的新方法：首先，采用Python软件作为数值模拟及三维建模的工具，利用K⁃Means++聚类算法实现裂隙数据的分组；然后，根据Fisher模型和蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation）完成裂隙数据的模拟；最后，基于圆盘模型，运用坐标变换和三角网格曲面实现裂隙数据的快速可视化.本文以西南山区某铁路工程康定段邻近的水电工程为例开展先行试验，结果表明本方法建立的裂隙模型与实际情况吻合度高，能应用于西南山区某铁路工程施工阶段隧道掌子面及洞壁的节理裂隙三维识别，并为后续该铁路沿线隧道渗流场、边坡稳定性和地热勘探研究等提供技术支撑.
1. 研究方案
本次研究基于岩体露头测窗调查获取的裂隙数据，依托球坐标及极射赤平投影进行数字化处理及降维，利用K⁃Means++聚类算法、Fisher分布模型和蒙特卡洛模拟，完成裂隙产状数据的自动分组和模拟，最后运用Python及圆盘模型实现裂隙数据的可视化（图 1）.
1.1 裂隙数据的数字化处理
本文建模用到的数据是裂隙的产状、迹长和位置，将裂隙的数据进行数字化处理是整个过程的第一步.本文用α和β表示裂隙的倾向和倾角，L表示迹长，（x；y）表示位置.将裂隙结构面置于三维直角坐标系和球坐标系（如图 2；规定x轴正方向为东，y轴正方向为北），根据方开泰等（1990）提出的球面上数据的表示方法，按公式（1）将产状用球坐标表示（本文规定半径为1）.
$$ \left\{\begin{array}{l}\theta =\frac{\pi }{2}-\alpha ,\alpha \le \frac{\pi }{2}\\ \theta =\frac{5\pi }{2}-\alpha ,\alpha > \frac{\pi }{2}\\ \phi =\beta \end{array}\right. \text{，} $$ (1) 式中：α为倾向；β为倾角；θ为水平角；φ为竖直角（下同）.
一个平面可用法向量来表征，因此用法向量来表示结构面的产状，其方向余弦用（l，m，n）表示.由于在三维空间中不便于对产状进行统计分析，所以利用极射赤平投影降维，将裂隙结构面的法向量投影到赤平面上得到二维平面上的极点图（图 3a）.为了简化计算，利于分析，本文采用上半球投影.
图 3 分组及模拟a. 极点图；b. 肘部法则；c. 极点分组（蓝色第一组，绿色第二组，红十字为中心，下同）；d. 极点模拟（模拟数据量和原始数据量一致，由于原始数据有重叠，所以图中看起来模拟的数据大于原始数据量）Fig. 3. Grouping and simulation1.2 产状分组
绘制玫瑰花图查明裂隙的优势产状是裂隙数据分类中常用的方法，然而这种定性分析得到的分组结果较为宽泛，无法满足工程需要.而且随着工程数据的积累，裂隙的数据量不断增加，传统处理方法已不能满足需求，因而利用新的算法实现产状数据的自动分组显得尤为重要.
目前机器学习领域主流的聚类算法分别基于划分、网格、密度、层次和模型等（朱建宇，2013）. K⁃Means聚类算法（K均值聚类算法）是一种基于划分的聚类算法，有着算法简单、收敛速度极快、适合大量数据聚类的优点.K⁃Means聚类算法的缺点是需要提前选取聚类个数K及其聚类中心，而且聚类结果易陷入局部最优解（王龙强，2013）.
本文选用优化过的K⁃Means++算法，解决陷入局部最优解的问题，并提升运算速度.聚类数的选取可以利用评价指标，目前常用轮廓系数和肘部法则.本文采用肘部法则，其原理是定义代价函数（损失函数）为所有数据点到其聚类簇中心的距离之和（SSE），当代价函数损失最小时，就是合适的K值.下面用肘部法则确定图 3a的最佳聚类数，如图 3b所示，为损失函数和不同K值的关系图，则当K < 2时，损失函数下降很快；当K > 2时，损失函数变化不大，继续划分多个组意义不大；K=2时处于肘部（转折点），即最佳分类数为2.分类结果如图 3c所示，在该图中，135°方向的一个极点偏离较大，应为误差点，将其去除.
1.3 Fisher模型
结构面的几何参数能够反映裂隙的空间分布、大小及特征，其中裂隙的产状、迹长和采集位置是构建三维可视化模型的关键数据.构建数值模拟模型的核心是探明这些几何参数的分布规律.
Fisher分布也称为球形正态分布，由Fisher于1951年提出（Fisher，1953），常被应用于产状数据的分析.满足Fisher分布的产状数据中心记作$ (\stackrel{-}{\phi },\stackrel{-}{\theta }) $，对应于极点图（图 3c）中的聚类中心，其方向余弦为$ (\stackrel{-}{l},\stackrel{-}{m},\stackrel{-}{n}) $，代表裂隙的平均方向.数据的离散程度用k表示，k值越大，数据越集中于中心；k→0时，Fisher分布趋于均匀分布；当k > 6时，可近似计算（王双，2013）.标准Fisher分布的数据中心为z轴（极点图中的原点），其概率密度函数如式（2）所示：
$$ \left\{\begin{array}{l}f\left({\phi }^{\mathrm{*}}\right)=\frac{k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }^{\mathrm{*}}{\mathrm{e}}^{k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\phi }^{\mathrm{*}}}}{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(k\right)},0 \le {\phi }^{\mathrm{*}} \le \frac{\pi }{2}\\ f\left({\theta }^{\mathrm{*}}\right)=\frac{1}{2\pi },0 \le {\theta }^{\mathrm{*}} \le 2\pi \end{array}\right. \text{，} $$ (2) 式中：k为离散程度，φ*、θ*分别为标准情况下的竖直角和水平角（下同）.
1.4 蒙特卡洛模拟
蒙特卡洛模拟于20世纪40年代被提出，现已在数值模拟、计算机仿真等领域被广泛应用.在已知产状数据服从Fisher分布、迹长服从负指数分布的前提下，通过抽样公式得到模拟数据.
因Fisher分布的累积密度函数服从（0，1）区间的均匀分布（王双，2013），故引入均匀分布u~U（0，1），将式（2）积分并求反函数得抽样公式（3）：
$$ \left\{\begin{array}{l}{\phi }^{\mathrm{*}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}\left[{\mathrm{e}}^{k}-u\left({\mathrm{e}}^{k}-{\mathrm{e}}^{-k}\right)\right]}{k}\\ {\theta }^{\mathrm{*}}=2\pi u\end{array}\right. \text{，} $$ (3) 式中：u为均匀分布（下同）.
Fisher模型生成的数据服从标准的Fisher分布，其数据的中心为z轴，但实际的数据几乎不会集中在z轴，需要用式（4）将模拟数据变换到实际数据的中心（占洁伟，2019），得到图 3d所示的模型.
$$ \left(\begin{array}{c}{l}_{i}\\ {m}_{i}\\ {n}_{i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\stackrel{-}{\phi }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\stackrel{-}{\theta }& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\stackrel{-}{\theta }& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\stackrel{-}{\phi }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\stackrel{-}{\theta }\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\stackrel{-}{\phi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\stackrel{-}{\theta }& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\stackrel{-}{\theta }& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\stackrel{-}{\phi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\stackrel{-}{\theta }\\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\stackrel{-}{\phi }& 0& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\stackrel{-}{\phi }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{l}_{i}^{\mathrm{*}}\\ {m}_{i}^{\mathrm{*}}\\ {n}_{i}^{\mathrm{*}}\end{array}\right) , $$ (4) 式中：$ {l}_{i}^{*}、{m}_{i}^{*}、{n}_{i}^{*} $为标准情况下的方向余弦.
裂隙迹长L与圆盘半径r存在式（5）的关系，由于裂隙的迹长服从负指数分布，根据反函数法得到抽样公式（6）.蒙特卡洛模拟数据量依据实测裂隙数据量以及线密度确定.裂隙的位置数据则根据均匀分布进行模拟（张文，2013），对于非均匀的情况，可以采用地质统计学、非均匀点泊松过程、分形理论等进行模拟.
$$ \stackrel{-}{L}=\frac{\pi }{2}\stackrel{-}{r} \text{，} $$ (5) 式中：L为迹长；r为圆盘半径（下同）.
$$ r=-\frac{2\stackrel{-}{L}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1-u\right)}{\pi } . $$ (6) 对于多个Fisher模型混合的情况，可将其看作由平均产状不同、离散程度不同的Fisher模型混合，即平均产状和离散程度为参数，最后得到如式（7）的Fisher混合模型：
$$ \begin{array}{l}f\left(\phi ,\theta ;\stackrel{-}{\phi },\stackrel{-}{\theta }k\right)=\frac{k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi {\mathrm{e}}^{k\left[\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\stackrel{-}{\phi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\theta -\stackrel{-}{\theta }\right)+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\stackrel{-}{\phi }\right]}}{2\pi \left({\mathrm{e}}^{k}-{\mathrm{e}}^{-k}\right)},\\ 0 \le \phi \le \frac{\pi }{2},0 \le \theta \le 2\pi \end{array} . $$ (7) 1.5 岩体裂隙三维模型构建
由于圆盘模型具有简便、实用的特点（叶茂，2014），故本文将圆盘模型作为可视化的基础模型.圆盘模型产状表征圆盘方位、迹长表征大小、测量位置表征空间位置.三维空间的圆盘有明确的数学解析式，但该解析式不利于计算机建模；因此，本文采取坐标变换的方式进行建模.
首先，建立二维平面圆盘，表示产状水平的裂隙结构面，对应图 4a；其次，将图 4a绕y轴旋转角度φ（按右手法则确定的正方向旋转，下同），得到倾角为φ的结构面（如图 4b）；最后，将图 4b先绕z轴旋转角度θ，得到倾向为θ，倾角为φ的圆盘（如图 4c），再其平移到采集的位置坐标（或模拟位置），得到空间任意位置的圆盘.
图 4 裂隙网络三维建模流程a. 水平圆盘；b. 倾角为φ的圆盘；c. 产状为θ∠φ的圆盘；d. 裂隙网络模型Fig. 4. 3D modeling process of fracture network计算机建模时，按照三角网格划分平面圆盘，再根据坐标变换建立空间圆盘.三角网格的剖分将圆盘离散化为有限元，一方面有利于建模，能够表示裂隙的张开程度（实测数据张开度为定性数据，故未表示张开度）；另一方面更有利于后续进行渗流、边坡稳定性等的计算.裂隙网络的模拟需要在一定空间范围内进行（张文，2013），所以建模时，首先根据实测数据确定模拟方盒的大小（程序显示最佳范围为10 m×5 m×5 m的方盒）及模拟数据量（由线密度确定），然后按上述方法叠加多个圆盘，最终建立如图 4d所示的裂隙网络模型.根据此原理，本文采用被称为胶水语言的Python及平台下的PyQt5、mayavi封装了三维建模软件，以此提高建模效率以及与其他三维建模软件嵌套的能力.
2. 研究实例
2.1 实例概况
川西康定地区位于龙门山、安宁河和鲜水河三条区域活动断裂的交汇部位，区内新构造运动活跃，岩体裂隙发育，为岩体裂隙三维可视化研究提供了良好的“天然实验室”.同时，西南山区某铁路工程也将从川西康定地区通过，向西依次穿越多条活动断裂带.因此，本研究以西南山区某铁路工程康定段附近的14个平硐裂隙数据为例开展先行研究，基于本研究的岩体裂隙可视化新方法，建立离散裂隙网络模型.本实例的裂隙数据（如表 1）均通过测窗法采集（测窗大小5 m），14个平硐的方位如图 5所示.下面以平硐PD04的裂隙数据（如表 2）进行可视化的说明及分析.
表 1 平硐数据Table Supplementary Table Adit data平硐编号 方位角（°） 高程（m） 深度（m） PD1 8 968.385 79.0 PD2 122 975.735 167.8 PD03 112；158；176 972.504 542.8 PD04 10 1 080.377 69.5 PD6 115 1 300.986 94.4 PD8 112 1 200.033 94.4 PD11 146；179 972.290 41.0 PD16 116 973.941 108.5 PD24 8 967.382 152.0 PD201 112 971.405 102.0 PD202 112 971.870 101.0 PD203 112 1 083.563 145.3 PD203-204 202 1 082.493 100.8 PD204 37；112 1 079.504 125.5 表 2 平硐PD04数据Table Supplementary Table Adit data of PD04编号 产状 起点坐标（m） 终点坐标（m） 迹长（m） 同组间距（m） 1 305°∠22° (15.00, 1.65) (16.45, 1.85) 1.65 0 2 305°∠27° (16.50, 1.68) (15.80, 1.68) 0.70 0 3 245°∠24° (16.40, 1.57) (15.85, 1.50) 0.55 0 4 275°∠65° (16.62, 1.38) (15.00, 1.34) 2.10 0 5 100°∠25° (17.66, 1.20) (15.00, 1.40) 2.90 0 6 0°∠35° (16.75, 0.70) (16.15, 0.90) 0.60 0 7 90°∠23° (15.00, 1.10) (16.00, 0.90) 1.00 0 8 90°∠31° (16.40, 0.75) (15.90, 0.65) 0.50 0 9 90°∠32° (16.00, 0.70) (16.20, 0.45) 1.34 0 10 0°∠55° (16.45, 1.80) (17.20, 0.00) 1.90 0 … … … … … … 2.2 PD04可视化
首先利用传统方法对PD04的裂隙数据进行分析和可视化处理，得到产状玫瑰花图（图 6a）和施密特图（图 6b），在两图中，裂隙的优势产状被分为3组.
图 6 PD04可视化结果a. PD04产状玫瑰花图；b. PD04施密特图；c. PD04极点图；d. 肘部法则；e. 极点分组（蓝色为第1组，绿色为第2组，紫色为第3组）；f. 极点模拟（实际测窗大小为5 m，模拟时方盒长为10 m，所以此处模拟数据量按线密度扩大两倍）Fig. 6. The visualization results of PD04然后通过本文的球坐标投影及K⁃Means++算法，对裂隙产状投影得到极点图（图 6c）（本文极点采用上半球投影，极点分布方向与玫瑰花图方向一致），然后在此图基础上，由肘部法则（图 6d）确定最佳分类数为3，聚类的中心坐标为（0.13，0.01）、（-0.76，-0.13）、（-0.14，-0.84）.最终K⁃Means++分类的结果如图 6e所示，轮廓系数值为0.67，其离散程度分别为7.75、48.35、36.63.
产状分组数据需在模拟之前进行$ {\chi }^{2} $拟合检验，检验过程中需剔除误差较大的点，如果产状数据经检验服从Fisher分布，就可进行模拟；不服从则需对Fisher分布进行修正（郑俊等，2015）或利用其他模型调整.绘制倾向和倾角的核密度统计图（图 7a），基本确定本次产状数据符合Fisher分布，将每组产状数据分为8个区间，则3组数据的皮尔逊统计量$ {\chi }^{2} $分别为：13.686、4.158、9.333.选取显著水平0.05，查表得：$ {\chi }_{0.05}^{2} $（7）=14.067，故$ {\chi }^{2} < {\chi }_{0.05}^{2}\left(7\right) $，3组数据在显著水平0.05下均服从Fisher分布.用前文获取的聚类中心代替传统球面统计学中的方向余弦平均值，由实测裂隙数据线密度确定模拟时的数据量，然后进行Fisher分布的数值模拟，最后得到图 6f所示的模拟结果.
绘制裂隙迹长的概率密度图（图 7b），由形状基本确定其满足负指数分布，KS检验的p值为0.42，大于0.05，拒绝不符合负指数分布的假设，证明迹长符合负指数分布.所以根据平均迹长0.485 m、1.327 m、1.425 m，利用负指数分布模拟圆盘半径.同理，对裂隙位置进行均匀分布的KS检验，6张图（图 8）的p值分别为0.41、0.87、0.62、0.42、0.37、0.16，均大于0.05，符合均匀分布.
应用Python软件建模时，首先设定10 m×5 m×5 m的方盒范围（本文程序最佳显示范围），然后加载数据文件，选择平硐PD04，设定模拟数据量80（实际测窗大小为5 m，模拟时方盒长为10 m，按线密度扩大2倍），对裂隙数据进行投影、分组和模拟，得到如图 6c~6f的结果.最后利用圆盘模型可视化，建立如图 9的裂隙网络模拟模型.
2.3 PD04分析
在传统方法得到的产状玫瑰花图（图 6a）中，裂隙的优势产状大致分为3组，但此结果是定性的，难以进行精确分组和模拟.在施密特图（图 6b）中，裂隙优势产状也被分为3组，其通过等值线分布特征得到定量的分组数据，相较于玫瑰花图表现更全面，但此图的结果无法表征岩体裂隙之间的空间关系.图 6c~6e表明裂隙数据被分为3组，1组接近标准的Fisher分布（第2组），另外两组的优势倾向为200°（第3组）和260°（第1组），分组结果与传统方法的分组结果一致，说明K⁃Means++分组的正确性.K⁃Means++的聚类中心不仅能够代替传统球面统计学中的方向余弦平均值，还在分组的同时得到了Fisher分布的参数.球面统计学中方向余弦平均值易受最值影响，但K⁃Means++聚类不存在此问题，获取的参数更加准确.PD04的$ {\chi }^{2} $拟合检验表明裂隙产状数据服从Fisher分布，KS检验结果表明PD04的迹长数据服从负指数分布，位置数据服从均匀分布，以此为基础进行裂隙网络的蒙特卡洛模拟可信度较高.
图 9的圆盘通过三角网格离散化为有限元，在后续可进行有关渗流、边坡稳定性等的计算.图 9所示的可视化结果快速直观地体现了裂隙的大小、方位以及各裂隙之间的空间关系.因此，本文建立的裂隙网络模型中，K⁃Means++聚类得到定量的分组结果，裂隙网络模型直观地表示各裂隙之间的空间关系，完善玫瑰花图和施密特图的不足.
在图 9的视角上，近似水平的圆盘倾角较小，符合第2组中接近标准Fisher分布的数据；近似线状或扁椭圆的倾斜圆盘倾角较大，倾向在东（E）的反方向，符合第1组的优势倾向260°；在该视角上，接近圆形的圆盘倾角较大，倾向与第3组的优势倾向200°一致.
为了验证模拟数据，在这里引入RMAE（均方根误差）、MAE（平均绝对误差）、MAPE（平均绝对百分比误差）和R2（判定系数）4个指标.3组模拟数据4个指标的计算结果如表 3所示，RMSE和MAE都较小，表明模拟值与真实值之间的误差较小，R2表明第3组的模拟效果最好.3组数据的MAPE值均小于0.1，可以认为模拟模型具有较高的精度.以上结果表明模拟裂隙与实际裂隙的优势产状方向一致.裂隙的迹长和位置均通过了统计学检验，模拟数据量由实测数据线密度控制，4个指标指示了裂隙网络模型的高精度，在一定误差范围内，可以认为裂隙网络模型与实际等效，因而可以保证模拟数据的准确性.
表 3 模型验证Table Supplementary Table Model validation分组 RMSE MAE MAPE R2 第一组 0.276 0.288 0.097 0.714 第二组 0.014 0.096 0.060 0.867 第三组 0.211 0.333 0.042 0.950 2.4 区域裂隙网络可视化及分析
上述裂隙网络模型只针对一个平硐，实际的裂隙数据比模型中的数据复杂，因此需要综合多个平硐的裂隙数据判断研究区的裂隙三维分布特征.在本研究中，裂隙数据均在同一地区采集，所以综合14个平硐的裂隙数据（图 10）进行蒙特卡洛模拟，力求真实地反映研究区岩体裂隙三维分布特征.根据大多数平硐的深度，此处将方盒的尺寸扩大为100 m，考虑圆盘在一个尺度相对较大空间中的分布和变化，以更好地反映裂隙在不同区域的发育状况和分布特征.
基于岩体露头测窗调查获取的裂隙产状数据开展可视化研究（图 1），得到如图 11所示的岩体裂隙网络三维模型.图 11中部分圆盘的半径明显大于图 9中圆盘的半径，表示该地区存在迹长较大的裂隙，并且不同位置的裂隙圆盘在空间上有着不同的分布特征，40 m附近的圆盘尺寸较小，而70 m附近的则较大，其产状也不同，体现出裂隙在空间分布的差异性，因而该模型对裂隙的表征相对图 9的单一平硐更加全面.在图 11中能够很清晰地看到各圆盘的大小及相互之间的空间关系，当两个圆盘相离时，代表封闭的裂隙，不具备导水能力；当两个圆盘相交时，代表两个裂隙之间是连通的，这样的结构具有导水的能力；当多个圆盘相交形成楔形体时，岩体稳定性较差，可认为该地区发生边坡失稳和围岩崩塌等不良地质灾害的可能性较大；运用图论（叶茂，2014）、有限元等研究手段，分析圆盘之间的连通性，进而计算该岩体裂隙三维模型的渗流能力.
本模型以圆盘模型为基础进行构建，通过圆盘的圆心和半径很容易判断各圆盘之间的相互关系（相交、相切、相离），其中相交和相切的圆盘构成连通的裂隙.将多个圆盘之间的连通状况以矩阵形式表示（即为数学上的图论问题），然后通过算法遍历矩阵（如图论中的弗洛伊德算法），计算出模型中的多个导水通道，就能用其开展渗流仿真工作.因为每个圆盘都被三角网格离散化为有限元，所以可以单独设置圆盘的参数，通过调整张开度、粗糙程度等控制每个导水通道的渗流能力.若某一区域有大量连通的裂隙，则表明其为该地区渗流的主要路径.该模型的渗流能力由所有导水通道决定，因而在一定精度内可以模拟非均质情况.所以在此模型的基础上，通过进一步的分析和研究，就能避开传统方法的弊端，查明一个区域内岩体裂隙三维分布特征，对裂隙连通性、岩体结构面密度、地下水运移和边坡稳定性等工程问题进行分析和研究，其在可视化效率和准确性方面具有显著优势.
3. 结论
本文基于有限的岩体裂隙产状数据，利用Python程序语言开展裂隙的分组、模拟和三维可视化研究，并选取西南山区某铁路工程康定段附近的水电工程作为研究案例，阐述了岩体裂隙的可视化过程及分析过程，验证了新方法的合理性，最终得到以下结论：
（1）水电工程岩体裂隙产状数据服从Fisher分布，迹长服从负指数分布，位置服从均匀分布.
（2）运用K⁃Means++，既能高效准确地对岩体裂隙产状进行分组，又能由聚类中心得到Fisher分布的参数，并且比传统球面统计学更准确.
（3）圆盘模型可视化时采用坐标变换的方式，相比空间解析式，更有利于计算机建模.圆盘模型采用三角网格进行剖分，由胶水语言Python实现，能够与其他三维地质建模软件直接嵌套，更有利于为后续隧道渗流场、边坡稳定性和地热勘探研究等提供技术支撑.
（4）基于Python程序语言建立的三维离散裂隙网络模型在可视化效率和准确性上相对于传统玫瑰花图和施密特图有着一定的优势，能够直观反映区域裂隙网络的发育状况，未来可以在西南山区某铁路工程岩体裂隙三维可视化研究中广泛应用.
致谢: 论文的完成得益于西南交通大学覃礼貌老师的指导.野外工作期间中国电建集团成都勘测设计研究院有限公司给予了大力支持，室内数据分析得到了西南交通大学2018级本科生李亚博和王语雁的大力帮助、两位匿名审稿人提出了宝贵的意见和建议，使文章得以完善.在此一并致以诚挚的感谢！ -
图 3 分组及模拟
a. 极点图；b. 肘部法则；c. 极点分组（蓝色第一组，绿色第二组，红十字为中心，下同）；d. 极点模拟（模拟数据量和原始数据量一致，由于原始数据有重叠，所以图中看起来模拟的数据大于原始数据量）
Fig. 3. Grouping and simulation
图 4 裂隙网络三维建模流程
a. 水平圆盘；b. 倾角为φ的圆盘；c. 产状为θ∠φ的圆盘；d. 裂隙网络模型
Fig. 4. 3D modeling process of fracture network
图 6 PD04可视化结果
a. PD04产状玫瑰花图；b. PD04施密特图；c. PD04极点图；d. 肘部法则；e. 极点分组（蓝色为第1组，绿色为第2组，紫色为第3组）；f. 极点模拟（实际测窗大小为5 m，模拟时方盒长为10 m，所以此处模拟数据量按线密度扩大两倍）
Fig. 6. The visualization results of PD04
表 1 平硐数据
Table 1. Adit data
平硐编号 方位角（°） 高程（m） 深度（m） PD1 8 968.385 79.0 PD2 122 975.735 167.8 PD03 112；158；176 972.504 542.8 PD04 10 1 080.377 69.5 PD6 115 1 300.986 94.4 PD8 112 1 200.033 94.4 PD11 146；179 972.290 41.0 PD16 116 973.941 108.5 PD24 8 967.382 152.0 PD201 112 971.405 102.0 PD202 112 971.870 101.0 PD203 112 1 083.563 145.3 PD203-204 202 1 082.493 100.8 PD204 37；112 1 079.504 125.5 
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表 2 平硐PD04数据
Table 2. Adit data of PD04
编号 产状 起点坐标（m） 终点坐标（m） 迹长（m） 同组间距（m） 1 305°∠22° (15.00, 1.65) (16.45, 1.85) 1.65 0 2 305°∠27° (16.50, 1.68) (15.80, 1.68) 0.70 0 3 245°∠24° (16.40, 1.57) (15.85, 1.50) 0.55 0 4 275°∠65° (16.62, 1.38) (15.00, 1.34) 2.10 0 5 100°∠25° (17.66, 1.20) (15.00, 1.40) 2.90 0 6 0°∠35° (16.75, 0.70) (16.15, 0.90) 0.60 0 7 90°∠23° (15.00, 1.10) (16.00, 0.90) 1.00 0 8 90°∠31° (16.40, 0.75) (15.90, 0.65) 0.50 0 9 90°∠32° (16.00, 0.70) (16.20, 0.45) 1.34 0 10 0°∠55° (16.45, 1.80) (17.20, 0.00) 1.90 0 … … … … … …
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表 3 模型验证
Table 3. Model validation
分组 RMSE MAE MAPE R2 第一组 0.276 0.288 0.097 0.714 第二组 0.014 0.096 0.060 0.867 第三组 0.211 0.333 0.042 0.950
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