Effect of Parameter Sensitivity of van Genuchten Model on Numerical Simulation of Rainfall Recharge
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摘要: 详细分析不同评价指标下的van Genuchten方程参数敏感性，对于深入认识参数物理意义、合理确定参数值、提高降水入渗数值模拟准确性具有重要意义.用HYDRUS软件建立一维变饱和水分运移模型，以实际补给量、补给过程曲线和极限蒸发深度作为评价指标，采用单因素扰动分析法对van Genuchten方程各参数敏感性进行理论分析，进而选取多组参数实例，分析同一岩性类别下，不同土样土壤水力参数差异及其对入渗补给模拟结果的影响.结果表明：形状系数 (n)、土壤进气值的倒数 (α) 与极限蒸发深度呈负相关关系，是影响极限蒸发深度的显著因素；饱和含水率 (θs)、n、饱和渗透系数 (Ks) 对于入渗补给影响的敏感性较高，三者在实际土样粒径分布、干密度和孔隙性的共同影响下发生同向变动.合理的参数敏感性分析及数值模拟调参过程需结合土壤参数的物理意义来开展.Abstract: The van Genuchten model is frequently used in expression of soil lithology and hydraulic feature of vadose zone. The included soil hydraulic parameters are sensitive factors in numerical simulation of rainfall recharge. It facilitates the understanding of the physical meaning of parameters, improving accuracy of numerical simulation of rainfall recharge and parameters regulation to analyze the sensitivity of each soil hydraulic parameter. In this study, one-dimensional variably saturated flow models were established by using HYDRUS software. Simulations were run under conditions of multiple sets of parameters which are set in the principle of changing one parameter and keeping the others invariant to evaluate parameter sensitivity of van Genuchten model by using actual recharge quantity, recharge process curve and maximum evaporation depth as the index. The case study chose multiple sets of measured parameters to evaluate the influence of parameter variation among different samples of the same lithology. The simulations results show that maximum evaporation depth is significantly affected by the n and α which are negatively related to it; θs, n, and Ks have a high sensibility to the variation of vertical groundwater recharge, however they will change with porosity, grain size distribution and bulk density of soil at the same time. It is concluded that the reasonable analysis of parameter sensitivity can only be done in combination of the study of their physical meaning.
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Key words:
- van Genuchten model /
- parameter sensibility analysis /
- rainfall recharge /
- numerical simulation /
- HYDRUS /
- hydrogeology
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基于包气带的变饱和数值模拟法是评价降水入渗补给的有效手段 (Allison，1994；Scanlon，2002).数值模型对入渗补给各影响因素的参数化处理是实现其定量评价入渗补给过程及补给量的重要前提，但也是数值模拟结果不确定性的潜在来源.参数敏感性分析对于确定模型关键参数、控制模型效率、提高模型准确性具有重要意义 (田雨等，2010).
包气带岩性相对于降水、灌溉、水位埋深等因素具有更高的随机性，其决定了包气带水力特征，是导致数值模拟结果不确定性的首要因素.包气带水力特征 (岩性) 一般采用van Genuchten方程 (van Genuchten，1980；Vogel and Císlerová，1988)、Brooks-Corey方程 (Brooks and Corey, 1964)、Dual-porosity model方程 (Durner，1994)、Lognormal Distribution方程 (Kosugi，1996) 等土壤水力模型来表征.其中van Genuchten方程是定量刻画包气带岩性及其水力特征的常用模型，模型主要参数包括：残余含水率θr、饱和含水率θs、饱和渗透系数Ks、土壤进气值 (土壤由饱和态转变为非饱和态的临界值) 的倒数α、和表征土壤孔隙分布尺寸的形状系数n.前人针对van Genuchten方程的参数敏感性研究 (毕经纬等，2003；孟江丽，2004；Jimenez-Martinez et al., 2009；Lu et al., 2011；王志涛等，2013)，发现n、θs、Ks的扰动对于实际补给量的影响较大，而θr、α的敏感性较小.然而，入渗补给评价包括补给量和补给响应两个方面，仅以实际补给量作为评价指标无法充分反映其敏感性信息.当水位埋深较浅时，有效补给 (入渗蒸发) 是反映降水对地下水可更新资源量补给意义的合理指标 (Huo et al., 2014)，极限蒸发深度作为决定有效补给量的重要因素，其相对于土壤水力参数的敏感程度仍不明确；而当水位埋深较大时，入渗补给评价侧重于深厚包气带的补给响应调节作用 (霍思远，2015)，但土壤水力参数对于补给响应的影响鲜有报道.详细分析不同评价指标下的土壤水力参数敏感性，对于深入认识参数物理意义、合理确定参数值、提高降水入渗数值模拟准确性具有重要意义.
本文利用HYDRUS软件 (Simunek et al., 2008) 建立一维变饱和水分运移模型，分别以实际补给量、补给过程曲线和极限蒸发深度作为评价指标，采用单因素扰动分析法对van Genuchten方程各参数敏感性进行理论分析.选取多组参数实例，分析同一岩性类别下，不同土样土壤水力参数差异及其对入渗补给模拟结果的影响，进一步论证van Genuchten方程各参数敏感性.
1. 数值模拟
1.1 概念模型
构建一维均质变饱和水分运动模型，控制水位埋深10 m且稳定不变，模拟不同水力特征包气带在给定10 cm/d单次降水条件下的入渗补给规律.
1.2 数学模型
$$ \left\{ \begin{align} & c\left(h \right)~\frac{\partial h}{\partial t}~\text{ }=~\frac{\partial ~}{\partial z}\left(K\left(h \right)~\frac{\partial h~}{\partial z} \right)\text{ }+~\frac{\partial K\left(h \right)}{~\partial z}, \\ & h\left(z, t \right)={{h}_{0}}\left(z \right), t=0, \\ & -K\left(h \right)~\left(\frac{\partial h~}{\partial z}+1 \right)P-E-{{R}_{off}}, \\ & h\left(z, t \right)\left| _{z=B} \right.=h\left(B, t \right), t>0.~ \\ \end{align} \right. $$ (1) 式中：h为土壤负压 (cm)；c(h) 为容水度 (cm-1)；K(h) 为土壤非饱和水力传导度 (cm/d)；h0为初始土壤负压值 (cm)；P为降水量 (cm/d)；E为蒸发量 (cm/d)；Roff为地表径流 (cm/d)；t为时间 (d)；B为模型下边界.
HYDRUS通过式 (2) 限定模型的上边界通量计算：
$$ \left\{ \begin{align} & q\le {{q}_{\text{p}}}, E\le {{E}_{\text{p}}}, \\ & {{h}_{\text{A}}}\le h\left(0, t \right)\le 0. \\ \end{align} \right. $$ (2) 式中：q为上边界实际入渗量 (cm/d)；qp为上边界潜在入渗量 (cm/d)，由表层岩性及含水率决定；E为蒸发量 (cm/d)；EP为土壤潜在蒸发量 (cm/d)；h(0, t) 为地表土壤负压 (cm)；hA为地表土壤允许的最小负压值 (hA=-10 000 cm).
当计算的地表土壤负压值小于hA时，模型上边界转变为定水头边界来计算 (取h=hA)；当地表土壤负压满足式 (2) 时，上边界为变流量边界，实际入渗量受潜在入渗量限制，当降水强度大于潜在入渗能力时，产生地表径流.
表征土壤水分特征曲线及非饱和水力传导度的van Genuchten方程 (van Genuchten，1991) 如下：
$$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\theta \left( h \right) = \\ \left\{ \begin{array}{l} {\theta _{\rm{r}}} + {\rm{ }}\frac{{{\theta _{\rm{s}}} - {\theta _{\rm{r}}}}}{{{{\left[ {1 + \left| {\alpha h} \right|n} \right]}^m}}}{\rm{ }},h < 0,\left( {m = 1 - 1/n,n > 1} \right),\\ {\theta _{\rm{s}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;h \ge 0, \end{array} \right. \end{array} $$ (3) $$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;K\left( \theta \right) = \\ \left\{ \begin{array}{l} {K_{\rm{s}}}S_{\rm{e}}^1\left[ {1 - {{(1 - S_{\rm{e}}^{1/m})}^m}} \right]{^2}\;\;\;\;\;,h < 0,\\ {K_{\rm{s}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;,h \ge 0, \end{array} \right. \end{array} $$ (4) $$ {{S}_{\text{e}}}=\frac{\theta -{{\theta }_{\text{r}}}}{{{\theta }_{\text{s}}}-{{\theta }_{\text{r}}}}, $$ (5) 式中：θr为土壤残余含水率 (%)；θs为土壤饱和含水率 (%)；α、n、m为土壤水分特征曲线形状参数；K为饱和水力传导度 (cm/d)；Se为有效饱和度.
1.3 数值模型设计
1.3.1 离散化
采用等间隔剖分方式，以10 cm为间隔将包气带剖分为100个网格.模拟时长为2 435 d，采用变时间步长，初始时间步长1 d，最小时间步长0.001 d，最大时间步长2 d.
1.3.2 参数设计
选取软件岩性数据库中的砂质壤土作为基础参数，在不改变其他参数的前提下，将某一水力参数增大或减小50%，并以补给过程曲线、补给量和极限蒸发深度作为评价指标分析其敏感性，由于n＞1的条件限制，将n增大50%的同时，做增大或减小36.5%的处理 (表 1).参数增减幅度的设定需同时满足显著性及合理性两方面要求，为了直观表征并对比各参数改变后补给过程曲线、土壤水分特征曲线和剖面总水势梯度的整体变化趋势及其物理意义，文中各参数均设定相同的增减幅度；同时，本文选定的砂质壤土岩性粗细适中且基础参数值近似表征了砂质壤土参数平均值，结合前人的参数敏感性研究 (Lu et al., 2011)，各参数50%的增减变化幅度处于合理区间.
表 1 敏感性分析参数设置Table Supplementary Table Parameter list of sensitive analysis砂质壤土 θr θs α(1/cm) n Ks(cm/d) 原值 0.065 0.410 0.075 0 1.890 106.10 增加 0.097 5(θr+) 0.615(θs+) 0.112 5(α+)
2.835(n+)
2.58(n1+)159.15(Ks+) 减小 0.032 5(θr-) 0.205(θs-) 0.037 5(α-) 1.2(n-) 53.05(Ks-) 注：数值后括号代表相应模型代号，如“n+”、“n1+”、“n-”分别代表在不改变其他参数的前提下，将n值增加50%、增加36.5%和减小36.5%. 1.3.3 边界条件及初始条件
模型上边界为大气边界，受降水、土壤蒸发、地表径流影响，忽略根系吸水作用.如图 1所示，10 cm/d的单次降水发生在模拟第一天，此后为持续蒸发过程，土壤蒸发量根据潜在蒸发量和土壤含水率由HYDRUS软件自动计算.潜在蒸发量 (Ep) 据栾城地区E20实测蒸发量通过公式 (6) 折算.下边界为变压力水头边界，控制水位埋深变化.模型通过循环迭代计算获取稳定剖面含水率分布作为初始条件.
$$ {{E}_{\text{p}}}=\beta {{E}_{20}}, $$ (6) 式中：Ep为土壤潜在蒸发量 (cm/d)；E20为实测蒸发量 (cm/d)；β为折算系数，本文取β=0.5.
2. 结果及讨论
2.1 土壤水力参数对水分特征曲线的影响
土壤水力参数变化直接决定了水分特征曲线形状及非饱和导水率的大小，从而影响水分在包气带中的入渗规律 (图 2).从土壤水分特征曲线来看，θr、θs分别对高吸力 (低含水率) 段和低吸力 (高含水率) 段影响显著；n的变化会影响土壤水分特征曲线的弯曲程度及整体形状；α减小则会使曲线整体抬升；Ks的变化对水分特征曲线影响不大.对土壤渗透性而言，θs、n、Ks是影响非饱和渗透系数的主要参数，而α及θr的影响较不明显，其中θr在高吸力阶段的非饱和导水率数值虽然相对差异较大，但其绝对数值很小，因此渗透性变化不大.
图 2 土壤水力参数对水分特征曲线及非饱和渗透系数的影响Fig. 2. Effects of soil hydraulic parameters on soil water characteristic curve and unsaturated coefficient of permeability2.2 土壤水力参数对入渗补给的影响
各土壤水力参数对水分特征曲线及非饱和导水率不同程度的影响是导致参数敏感性差异的主要原因.从补给响应来看 (图 3)，θs对于补给过程曲线的影响最大，且与之呈负相关关系，这是由于θs增大后，同一体积含水率对应的负压值增大，土壤渗透性降低，补给过程曲线出现削峰、滞后、延迟的响应.与θs的作用相反，n、Ks、θr与补给过程曲线正相关，其中n的扰动影响最大，α对于补给过程曲线的影响最小.
图 3 土壤水力参数对补给过程曲线的影响Fig. 3. Effects of soil hydraulic parameters on recharge process curve笔者统计补给起始时间、补给时长、补给峰值大小及出现时刻等描述补给过程曲线的特征指标 (图 4)，得出土壤水力参数的敏感性由大到小排序为：θs、n、Ks、θr、α.从补给量来看 (图 5)，θs、n、Ks对于补给量的影响较为显著，而θr、α的敏感性较小，这与以补给过程曲线为评价指标得到的规律基本一致.
图 4 补给过程曲线特征变化程度Fig. 4. The variation of characteristic indexes of recharge process curve2.3 土壤水力参数对极限蒸发深度的影响
极限蒸发深度是指蒸发作用所能驱动的包气带水向地表运移的最大深度，其是计算降水入渗潜在补给量的上界面.入渗水流在极限蒸发深度以上运移时，会被蒸发作用消耗，这既包括补充前期蒸发引起的包气带水分亏缺，也包括当次入渗补给过程中的蒸发损耗.当入渗水流运移到极限蒸发深度以下时，便不再会形成蒸发驱动的上升水流，均能到达潜水面形成补给.因此，降水入渗补给量的计算断面必须位于极限蒸发深度以下.
极限蒸发深度由包气带岩性特征所决定，岩性越细极限蒸发深度越大，但不同水力参数对极限蒸发深度的影响存在差异.如图 6所示，总水势梯度为正时代表水分向上运动，负值代表向下运动，在长期蒸发条件下 (无降水)，总水势梯度0点所处位置既为土壤极限蒸发深度.笔者对比不同参数对剖面总水势梯度的影响，得出n和α的敏感性较高 (图 7).α为土壤进气值的倒数，代表土壤由饱和态转变为非饱和态的临界点，当α减小时，进气值增大，孔径变细，毛细作用增强，极限蒸发深度变大.n一定程度上反映了土壤孔隙分布尺寸，n较小时，土壤介质中的细小孔隙增多，具有较强的粘滞力，颗粒间毛细作用增大，极限蒸发深度增大.
图 6 土壤水力参数对总水势梯度的影响Fig. 6. Effects of soil hydraulic parameters on total soil water potential gradient
图 7 土壤水力参数对极限蒸发深度的影响Fig. 7. Effects of soil hydraulic parameters on maximum evaporation depth值得注意的是，此处所述的极限蒸发深度与“地下水蒸发的极限埋深”并不相同，后者通常指潜水蒸发量或地表蒸发量为零时的地下水最大埋深，其为表征潜水蒸发规律的重要指标.在相同的条件下，包气带的极限蒸发深度要小于地下水蒸发的极限埋深，这是由于潜水面以上存在一定范围的毛细饱和带，只有毛细饱和带也处于极限蒸发深度以下时，潜水面才能达到极限埋深.
2.4 实例分析
单因素扰动敏感性分析通过限定单一变量的变化范围可以准确地获取某一参数的敏感性信息，但其没有考虑参数与所代表的土壤岩性之间以及不同参数之间的相互关系.在实际条件下，特定岩性对应的土壤水力参数存在一定的变化区间，因此模拟过程中参数调整要限定在合理的范围内，否则会造成人为改造的土壤在实际中并不存在.基于以上原因，笔者根据野外钻孔资料，针对华北平原广泛分布的3种土壤类型：砂壤土、粉砂质粘壤土、壤土，采集多组原状土样，运用激光粒度仪测定其颗粒组分，并测定其干密度；土壤水力参数采用Ku-Pf Apparatus (DT04-01) 进行室内测定，并通过RETC软件 (van Genuchten et al., 1991) 拟合.基于所测数据分析同一岩性条件下土壤水力参数对入渗补给过程的影响，进一步讨论及验证之前通过单因素扰动敏感性分析得到的结果.
岩性表征了一定粒径分布区间内的土壤，因此在同一岩性类别下，不同土样之间存在粒径分布差异及干密度差异，这导致了土壤水力参数的变异性.如表 2所示，土样中砂粒组分减少，粉粒、黏粒组分增加会造成土壤干密度增加、孔隙度减小、渗透性变差，导致土壤水力参数中敏感性较强的θs、n及Ks减小，最终使补给过程曲线峰值减小且更为滞后、平缓 (图 8)，这表明单因素扰动敏感性分析得出的θs与补给过程之间的负相关关系并不合理，θs减小虽然会使同一体积含水率对应的负压值减小，土壤渗透性更接近于饱和状态，但饱和渗透系数Ks往往与θs一同随土壤孔隙度的减小而减小，因此总体上土壤渗透性是降低的.
表 2 华北平原参数实例Table Supplementary Table Measured parameter of North China plain位置 岩性 编号 粒径分布 干密度 (g/cm3) 土壤水力参数 砂粒 (%) 粉粒 (%) 黏粒 (%) θr θs α(1/cm) n Ks(cm/d) 辛集 1 82.19 13.45 4.38 1.41 0.042 7 0.407 9 0.040 7 1.871 1 193.96 桃园 砂壤土 2 74.04 20.16 5.78 1.58 0.037 4 0.358 5 0.043 7 1.560 9 58.81 藁城 3 56.51 29.65 13.84 1.72 0.039 6 0.325 4 0.033 2 1.289 5 10.28 桃园 粉砂质
黏壤土1 32.19 51.77 15.99 1.46 0.055 0 0.376 1 0.006 9 1.591 6 14.51 正定 2 21.29 60.74 17.92 1.58 0.058 7 0.366 2 0.006 6 1.577 1 8.04 正定 3 20.19 59.68 20.14 1.63 0.060 4 0.360 3 0.007 2 1.535 5 5.43 桃园 壤土 1 54.46 35.67 9.85 1.39 0.041 3 0.384 2 0.017 0 1.464 6 41.60 大河 2 52.96 37.14 9.88 1.47 0.039 8 0.366 7 0.017 9 1.449 4 30.12 藁城 3 41.31 44.04 14.68 1.67 0.043 0 0.328 7 0.015 4 1.385 3 7.40 
图 8 不同岩性及参数条件下的补给过程曲线Fig. 8. The corresponding recharge process curve of different instance parameter以上实例分析表明，在分析包气带岩性及土壤水力参数对入渗补给规律的影响时，需结合土壤水力参数的物理意义及表征的土壤特性方能得出准确、合理的结论.
3. 结论
(1) 以单因素为扰动变量的敏感性分析表明θs、n、Ks对于入渗补给影响的敏感性较高，n、Ks与补给量和补给响应呈正相关关系.
(2)n、α对于极限蒸发深度的影响较为显著，极限蒸发深度与n、α呈负相关关系.
(3)θs、n、Ks由实际土样的粒径分布、干密度和孔隙性共同决定，三者一同发生同向变动.合理的参数敏感性分析及数值模拟调参过程需结合土壤参数的物理意义来开展.
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图 2 土壤水力参数对水分特征曲线及非饱和渗透系数的影响
Fig. 2. Effects of soil hydraulic parameters on soil water characteristic curve and unsaturated coefficient of permeability
图 3 土壤水力参数对补给过程曲线的影响
Fig. 3. Effects of soil hydraulic parameters on recharge process curve
图 4 补给过程曲线特征变化程度
Fig. 4. The variation of characteristic indexes of recharge process curve
图 6 土壤水力参数对总水势梯度的影响
Fig. 6. Effects of soil hydraulic parameters on total soil water potential gradient
图 7 土壤水力参数对极限蒸发深度的影响
Fig. 7. Effects of soil hydraulic parameters on maximum evaporation depth
图 8 不同岩性及参数条件下的补给过程曲线
Fig. 8. The corresponding recharge process curve of different instance parameter
表 1 敏感性分析参数设置
Table 1. Parameter list of sensitive analysis
砂质壤土 θr θs α(1/cm) n Ks(cm/d) 原值 0.065 0.410 0.075 0 1.890 106.10 增加 0.097 5(θr+) 0.615(θs+) 0.112 5(α+)
2.835(n+)
2.58(n1+)159.15(Ks+) 减小 0.032 5(θr-) 0.205(θs-) 0.037 5(α-) 1.2(n-) 53.05(Ks-) 注：数值后括号代表相应模型代号，如“n+”、“n1+”、“n-”分别代表在不改变其他参数的前提下，将n值增加50%、增加36.5%和减小36.5%. 
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表 2 华北平原参数实例
Table 2. Measured parameter of North China plain
位置 岩性 编号 粒径分布 干密度 (g/cm3) 土壤水力参数 砂粒 (%) 粉粒 (%) 黏粒 (%) θr θs α(1/cm) n Ks(cm/d) 辛集 1 82.19 13.45 4.38 1.41 0.042 7 0.407 9 0.040 7 1.871 1 193.96 桃园 砂壤土 2 74.04 20.16 5.78 1.58 0.037 4 0.358 5 0.043 7 1.560 9 58.81 藁城 3 56.51 29.65 13.84 1.72 0.039 6 0.325 4 0.033 2 1.289 5 10.28 桃园 粉砂质
黏壤土1 32.19 51.77 15.99 1.46 0.055 0 0.376 1 0.006 9 1.591 6 14.51 正定 2 21.29 60.74 17.92 1.58 0.058 7 0.366 2 0.006 6 1.577 1 8.04 正定 3 20.19 59.68 20.14 1.63 0.060 4 0.360 3 0.007 2 1.535 5 5.43 桃园 壤土 1 54.46 35.67 9.85 1.39 0.041 3 0.384 2 0.017 0 1.464 6 41.60 大河 2 52.96 37.14 9.88 1.47 0.039 8 0.366 7 0.017 9 1.449 4 30.12 藁城 3 41.31 44.04 14.68 1.67 0.043 0 0.328 7 0.015 4 1.385 3 7.40
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