A Universal Mathematical Method for Determining Occurrence of Underground Rock Discontinuity Based on TV Picture of Wall of a Single Borehole
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摘要: 岩体结构面产状是影响岩体力学性质及工程稳定性的重要地质因素.从钻孔孔壁电视平展图上可较精确地提取结构面迹线上不共线三点的相对二维坐标(d, h)，再利用空间解析几何理论确定其三维空间相对坐标(x, y, z)，并求得结构面法向矢量.根据钻孔孔壁与坡面及结构面产状的空间几何关系，在保持原点不变的情况下，采用空间坐标变换的方法，将三维坐标系z轴和y轴分别转化为竖直方向z′和正北地理方向y′，并确定转化后坐标系空间的结构面法向矢量.再从结构面产状的定义出发，根据结构面法向矢量与结构面倾向、倾角的相关性，建立了一个空间几何模型，通过该模型可求得任意平直坡面上任一钻孔内局部岩体结构面的产状.Abstract: The rock mass mechanical properties and stability of rock engineering are remarkably affected by the occurrence of rock discontinuities. The relative 2D coordinates (d, h) of three non-collinear points at the discontinuity can be accurately derived from setting-out sketch of TV picture of borehole wall. The relative 3D coordinates (x, y, z) of these points and the normal vector of the plane which are determined by them can be obtained using space analytic geometry method., The z-axis and y-axis are rotated toward vertical (z′-axis) and north direction (y′-axis) respectively according to the space geometric relationship of borehole wall and the occurrence of slope and discontinuity without changing the original point and using space coordinate transformation, and the new normal vector of discontinuity in transformed 3D coordinates can also be obtained. Based on the dependency of normal vector, inclination direction and dip angle of discontinuities, a 3D geometrical model can be established, by which the local discontinuity occurrence of any borehole on any flat slope can be determined efficiently.
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岩体由岩块和结构面组成，结构面产状特征明显影响着裂隙岩体的力学性质及岩体工程的稳定性.在进行岩体质量分级、找矿、地质勘察、岩体边坡变形破坏、岩体地下洞室块体稳定性及岩体渗流特性等分析时，岩体结构面的产状是必须考虑的参数(Hudson and Harrison, 1997；郭强等，2011；狄永军等，2012；秦亚等，2013).因此，准确确定岩体结构面的产状是一项极为重要的基础性工程地质工作.
目前确定地下岩体结构面产状的方法仍主要采用钻孔岩心测定法，包括定向取岩心法和邻近三个不共线钻孔法(石永泉，2004；冯羽等，2011).邻近三个不共线钻孔法一般只能揭示规模比较大的结构面，如断裂带或长大裂隙的产状(石永泉和代常友，2007)，而单个定向钻孔取心法受地层结构及施工水平的影响较大，在裂隙较发育地层误差很大.石永泉等(2000)提出了采用岩心确定结构面产状的打标记法，利用专门的取心工具，给岩心打标记，从钻孔中取出具有确定方向的岩心，再结合钻孔弯曲参数综合确定地下岩体结构面产状.此方法操作简单，但仍需要3个钻孔的岩心信息，类似于三不共线钻孔法.前人用古地磁法对岩心进行定向，其原理是测量并分解出岩石样品中由现代地磁场引起的剩磁分量，依其方向与现代地磁场一致的原则，恢复岩石样品的空间方位和产状(Hailwood and Ding, 1995; Rolph et al., 1995).该方法不需要任何特殊孔内仪器和工艺，只需要从岩心上取出柱状岩样，利用保存在岩石中的磁场方向进行测量和计算，确定岩心方位，再结合钻孔弯曲参数综合确定岩体结构面的产状, 此方法只适宜于沉积岩地层，精度较差.毛吉震(1994)提出了利用超声波井下电视技术测量深部岩体结构面产状的方法，该方法能够较准确地测定小规模结构面的产状，但对倾斜钻孔不适用.黄达等(2013)提出了采用单个竖直钻孔电视图像确定深部岩体结构面产状的方法，该方法操作简便且较准确，但只适应于水平地面上的竖直钻孔.
钻孔电视技术已广泛应用于水电、矿山及国防等地下工程或边坡工程的勘察及施工扰动评价等方面.其主要用途是为了评价岩体结构或开挖扰动岩体的损伤破裂特征(秦绪英和宋波涛，2002；付建伟等，2004).它克服了普通钻孔取心将失去岩心原位、原状及岩样在钻孔中的构造、断裂和产状等信息，以及钻孔取心不连续，对钻孔内的裂隙、岩脉和溶洞发育等情况无法形象感知等缺点(王川婴等, 2001, 2002；查恩来，2006).本文利用钻孔电视图像深度、钻孔坡面倾角、钻孔倾角及孔径大小等定量准确的信息，提出了基于单个钻孔孔壁电视图像信息确定地下岩体结构面产状的普适数学方法，即此数学模型适宜于任意钻孔倾角(垂直、倾斜或水平)、不同的坡面工况，且特别适宜于地下裂隙型结构面产状的确定.
1. 确定结构面产状的数学方法
1.1 坐标系及结构面三维坐标
假定在产状为γ∠θ的某坡面上钻孔，钻孔仅在竖直平面内偏转(即钻孔的倾伏向与坡面倾向正好相差180°)，钻孔倾角为ϕ.选取某段含有结构面迹线的孔壁圆柱筒建立三维直角坐标系如图 1所示：坐标原点位于此段圆柱筒上端圆面的圆心M，以上端圆面上的水平方向为y轴(即该圆面走向，取靠近地理正N方向的一端为y轴正方向)，圆面内向下的方向为x轴，钻孔延伸方向为z轴.A、B、C为孔壁结构面轮廓线上任意3个不共线的点.
图 1 含结构面孔壁及三维直角坐标系Fig. 1. Borehole wall including discontinuity and its 3D rectangular coordinates将此段钻孔孔壁电视图像平展，在平展图上建立其钻孔深度与孔周位置的二维直角坐标系(d, h)，坐标系原点为三维圆筒上端圆面的最低点O(图 1，图 2)，钻孔延伸方向为h轴，孔壁环向方向为d轴，如图 2所示.将图 1中结构面上3个标定点A、B、C标注在二维平展图上的对应位置，通过孔壁电视图像的深度读数及孔径大小可确定这3点的平面坐标(图 2)：A(A2，A1)、B(B2，B1)、C(C2，C1).其中：A1、B1、C1分别为A、B、C三点的相对深度，A2、B2、C2分别为其在孔壁周边上的相应位置.
图 2 孔壁电视图平展及二维直角坐标系Fig. 2. Setting-out TV image of borehole wall and its two-dimensional rectangular coordinates根据平展图像的二维坐标与三维坐标的关系，可求得如图 1所示三维坐标系下A、B、C 3点的空间相对坐标：
$$ \left\{\begin{array}{l} A(x, y, z)=A\left(R \sin \left(A_{2} / R\right), R \cos \left(A_{2} / R\right), -A_{1}\right), \\ B(x, y, z)=B\left(R \sin \left(B_{2} / R\right), R \cos \left(B_{2} / R\right), -B_{1}\right), \\ B(x, y, z)=C\left(R \sin \left(C_{2} / R\right), R \cos \left(C_{2} / R\right), -C_{1}\right), \end{array}\right. $$ (1) 公式(1)中R为钻孔孔径.将其三维坐标记为：
$$ \left\{\begin{array}{l} A\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \\ B\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \cdot \\ C\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right) \end{array}\right. $$ (2) 1.2 确定结构面法向矢量
由公式(2)求得向量$ \overrightarrow{\boldsymbol{A B}} $、$ \overrightarrow{\boldsymbol{AC}} $的坐标为：
$$ \left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{\boldsymbol{A B}}\left(b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}, b_{3}-a_{3}\right) \\ \overrightarrow{\boldsymbol{A C}}\left(c_{1}-a_{1}, c_{2}-a_{2}, c_{3}-a_{3}\right) \end{array}\right. . $$ (3) 根据空间向量几何理论，结构面在三维坐标系Mxyz下的法向量$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $(n1, n2, n3)(图 1)为向量$ \overrightarrow{\boldsymbol{A B}} $×$ \overrightarrow{\boldsymbol{AC}} $，可确定法向量各分量为：
$$ \left\{\begin{array}{l} n_{1}=\left(b_{2}-a_{2}\right)\left(c_{3}-a_{3}\right)-\left(b_{3}-a_{3}\right)\left(c_{2}-a_{2}\right), \\ n_{2}=\left(b_{3}-a_{3}\right)\left(c_{1}-a_{1}\right)-\left(b_{1}-a_{1}\right)\left(c_{3}-a_{3}\right), \\ n_{3}=\left(b_{1}-a_{1}\right)\left(c_{2}-a_{2}\right)-\left(b_{2}-a_{2}\right)\left(c_{1}-a_{1}\right). \end{array}\right. $$ (4) 倾向是结构面上与走向线垂直并沿斜面向下的倾斜线在水平面上的投影方向，且为相对于正北方向顺时针旋转的方位角.故利用坐标变换方法将在Mxyz坐标系下的$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $(n1, n2, n3)转化为以正北地理方向为y′方向，竖直方向为z′方向且原点不变的坐标系Mx′y′z′下的坐标.孔口坡面的产状为γ∠θ，由于钻孔方向仅在竖直平面内偏转，故任意一段含结构面的钻孔孔壁圆筒(图 1)上端圆面的走向与孔口坡面的走向相同，均为γ±π/2，由于选取的y轴靠近正N方向，故取较小角度γ-π/2为y轴方位，如图 3所示.
图 3 含结构面孔壁与斜坡面关系Fig. 3. Relationship of borehole wall including discontinuity and drilling slope为了方便地求得结构面产状，需要将坐标系变换至z轴为竖直方向z′，y轴正方向指向正北方向y′的新坐标系Mx′y′z′.保持原点M不变，由坐标系Mxyz转换成坐标系Mx′y′z′可通过两次坐标旋转完成(图 4)：首先固定y轴，将xMz平面绕y轴旋转到z轴成竖直方向，x轴成水平方向；然后固定z轴，将xMy平面绕z轴旋转到y轴指向正北方向.根据笛卡尔坐标系下的坐标变换理论：
$$ \left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} \lambda_{x x^{\prime}} & \lambda_{y x^{\prime}} & \lambda_{z x^{\prime}} \\ \lambda_{x y^{\prime}} & \lambda_{y y^{\prime}} & \lambda_{z y^{\prime}} \\ \lambda_{x z^{\prime}} & \lambda_{y z^{\prime}} & \lambda_{z z^{\prime}} \end{array}\right]\left[x_{y z}\right], $$ (5) 记坐标变换矩阵：
$$ [\lambda]=\left[\begin{array}{lll} \lambda_{x x^{\prime}} & \lambda_{y x^{\prime}} & \lambda_{z x^{\prime}} \\ \lambda_{x y^{\prime}} & \lambda_{y y^{\prime}} & \lambda_{z y^{\prime}} \\ \lambda_{x z^{\prime}} & \lambda_{y z^{\prime}} & \lambda_{z z^{\prime}} \end{array}\right], $$ (6) 式中：x′、y′、z′分别表示坐标系Mx′y′z′下的横、纵、竖向坐标；λxx′表示x与x′夹角的余弦值，其余类推.
坐标变换矩阵的各参数表达式为：
$$ \begin{aligned} \left\{\begin{array}{l} \lambda_{x x^{\prime}}=\cos \left(x, x^{\prime}\right)=\cos \left(\gamma-\frac{\pi}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{2}-\phi\right)=\sin \gamma \sin \phi, \\ \lambda_{y x^{\prime}}=\cos \left(y, x^{\prime}\right)=\cos \left[\frac{\pi}{2}-\left(\gamma-\frac{\pi}{2}\right)\right]=-\cos \gamma , \\ \lambda_{z x^{\prime}}=\cos \left(z, x^{\prime}\right)=\cos \phi \cos \left(\gamma-\frac{\pi}{2}\right)=\cos \phi \sin \gamma, \\ \lambda_{x y^{\prime}}=\cos \left(x, y^{\prime}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\phi\right) \cos \left[\frac{\pi}{2}+\left(\gamma-\frac{\pi}{2}\right)\right]=\sin \phi \cos \gamma, \\ \lambda_{y y^{\prime}}=\cos \left(y, y^{\prime}\right)=\cos \left(\gamma-\frac{\pi}{2}\right)=\sin \gamma, \\ \lambda_{z y^{\prime}}=\cos \left(z, y^{\prime}\right)=\cos \phi \cos \left[\frac{\pi}{2}+\left(\gamma-\frac{\pi}{2}\right)\right]=\cos \phi \cos \gamma, \\ \lambda_{x z^{\prime}}=\cos \left(x, z^{\prime}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\phi\right)=-\cos \phi, \\ \lambda_{y \varepsilon^{\prime}}=\cos \left(y, z^{\prime}\right)=0, \\ \lambda_{z z^{\prime}}=\cos \left(z, z^{\prime}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\phi\right)=\sin \phi . \end{array}\right. \end{aligned} $$ (7) 故Mxyz坐标系下结构面法向量$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $(n1, n2, n3)变换为Mx′y′z′坐标系下的法向量$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $′(n1′, n2′, n3′)为：
$$\left\{\begin{array}{l} n_{1}{ }' \\ n_{2}{ }' \\ n_{3}{ }' \end{array}\right\}=[\lambda]\left\{\begin{array}{l} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc} \lambda_{x x'} & \lambda_{y x'} & \lambda_{z x'} \\ \lambda_{x y'} & \lambda_{y y'} & \lambda_{z y'} \\ \lambda_{x z'} & \lambda_{y z'} & \lambda_{z z'} \end{array}\right]\left\{\begin{array}{l} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}\right\}. $$ (8) 1.3 确定结构面产状
由结构面产状的定义可知，产状可由其法向矢量确定.结构面倾角即为该结构面与水平面所成的二面角α(取锐角)为：
$$ \alpha=\frac{\pi}{2}-\arcsin \frac{(0, 0, 1)\left(n_{1}{ }', n_{2}{ }', n_{3}{ }'\right)}{|0, 0, 1|\left|n_{1}{ }', n_{2}{ }', n_{3}{ }'\right|} . $$ (9) 结构面倾向即为法向量$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $′(n1′, n2′, n3′)在x′My′平面的投影向量$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $x′y′(n1′, n2′, 0)与y′轴正方向(正北方向)的夹角β(图 5)，由于倾向的唯一性，当n3′为负值时，法向量方向为垂直于结构面向里，则取垂直于结构面向外的法向量$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $′(n1′, n2′, n3′).结构面的倾向可表示为：
$$\beta=\left\{\begin{array}{l} \frac{\pi}{2}(m-1)+\arctan \left|\frac{n_{1}{ }'}{n_{2}{ }'}\right| \\ \left(\text { 当向量 }\left(n_{1}{ }', n_{2}{ }'\right) \text { 在第 } 1, 3\right. \text { 象限） } \\ \frac{\pi}{2}(m-1)+\arctan \left|\frac{n_{2}{ }'}{n_{1}{ }'}\right| \\ \left(\text { 当向量 }\left(n_{1}{ }', n_{2}{ }'\right) \text { 在第 } 2, 4 \text { 象限 }\right) \end{array}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ , $$ (10) 
图 5 结构面法向量在水平面投影示意Fig. 5. Projection of normal vector of discontinuity in the horizontal plane式中：m表示向量(n1′, n2′)所在的象限数1、2、3、4(图 5)，如若(n1′, n2′)在第1象限，m=1.
1.4 特殊工况处理
(1) 在水平面上垂直或倾斜钻孔，由于孔口处坡面为水平面，故其倾角θ=0°，此时可将y轴正方向定为地理正北方位，即y轴的地理方位角为0°，即γ-π/2=0°，故此时坡面倾向为γπ/2，将γ和ϕ值代入公式(7)求出[λ].
(2) 若在竖直边墙上水平或倾斜钻孔，则竖直面的倾向可为2个方向(即垂直竖直面向外和向里).此时，为了保持竖直边墙倾向取法与倾斜坡面倾向取法相同，取向外的方向为倾向.
2. 实例应用
由上述推导可知，最后求出的结构面产状只与钻孔倾角、孔径、开孔面产状及电视图上结构面迹线上任意3个不共线点的二维相对坐标有关，故水平、竖直和倾斜钻孔的结构面产状计算方法均相同.下面以西南某水电站倾斜坡面上倾斜钻孔和地下厂房竖直边墙的倾斜钻孔为例来阐述其具体的计算过程.
2.1 倾斜坡面上的倾斜钻孔电视图像
某钻孔在竖直平面内倾斜，倾角ϕ=15°，钻孔深度12 m，孔径为130 mm，钻孔口斜坡产状为241°∠35°.含有结构面的钻孔电视图像平展图如图 6所示，读取图像中结构面不共线的三点的二维坐标为(单位：m)：A(0，0.229)，B(0.244, 0.406)，C(0.362, 0.271).将以上数据代入公式(1)，得A、B、C三点的空间直角坐标：A(x, y, z)=A(0，0.065 0，-0.229 0)，B(x, y, z)=B(-0.037 4，-0.053 2，-0.406 0)，C(x, y, z)=C(-0.042 6，0.049 1，-0.271 0).将以上数据代入公式(4)，得结构面法向矢量$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $(2.150×10-3，5.969×10-3，-4.441×10-3).钻孔倾角ϕ=15°，钻孔孔口所在坡面的倾向γ=241°，将其代入公式(7)得坐标转换矩阵为：
$$ [\lambda]=\left[\begin{array}{ccc} -0.226 & 0.485 & -0.845 \\ -0.125 & -0.875 & -0.468 \\ -0.966 & 0 & 0.259 \end{array}\right] . $$ (11) 
图 6 斜坡上倾斜钻孔电视孔壁平展图Fig. 6. Setting-out TV image of inclined borehole wall of inclined slope将$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $和[λ]代入公式(8)，得坐标变换后结构面法向矢量$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $′(6.076×10-3，-3.413×10-3，-3.227×10-3)，将其代入公式(9)，得到结构面的倾角α为65.2°.$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $′在x′My′平面上的投影向量为$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $x′y′(-6.076×10-3，3.413×10-3, 0)，该向量位于第4象限，m=4，代入公式(10)，得结构面倾向为299.3°.故如图 6所示结构面的产状为299.3°∠65.2°.
2.2 竖直边墙倾斜钻孔电视图像
在某竖直边墙上倾斜钻孔，竖直边墙的产状为125.6°∠90°(垂直竖直面向外)或305.6°∠90°(垂直竖直面向里)，钻孔倾角ϕ=15°，钻孔深度为12 m，孔径为130 mm，含有结构面的钻孔电视图像平展图如图 7所示，读取图像中结构面不共线的三点的二维坐标为(单位：m)：A(0，0.345)，B(0.284, 0.206)，C(0.348, 0.325).将以上数据代入公式(1)，得A、B、C三点的空间直角坐标：A(x, y, z)=A(0，0.065 0，-0.345 0)，B(x, y, z)=B(-0.060 5，-0.023 7，-0.206 0)，C(x, y, z)=C(-0.052 1，0.038 9，-0.325 0).将以上数据代入公式(4)，得结构面法向矢量：$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $(1.854×10-3，-6.030×10-3，-3.040×10-3).钻孔倾角为ϕ=15°，竖直面的倾向可为2个方向(即垂直竖直面向外或向里)，为了保持其与倾斜坡面的倾向取法一致，选取向外的方向为倾向，即γ=125.6°，将以上数据代入公式(7)得坐标转换矩阵为：
$$ [\lambda]=\left[\begin{array}{ccc} -0.210 & 0.582 & -0.785 \\ -0.151 & 0.813 & -0.562 \\ -0.966 & 0 & 0.259 \end{array}\right]. $$ (12) 
图 7 竖直边墙上倾斜钻孔电视孔壁平展图Fig. 7. Setting-out TV image of inclined borehole wall of vertical slope将$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $和[λ]代入公式(8)，得坐标变换后结构面法向矢量$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $′(5.506×10-3，3.474×10-3，2.578×10-3)，将其代入式(9)，得到结构面的倾角α为68.4°.$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $′在x′My′平面上的投影向量为$ \overrightarrow{\boldsymbol{n}} $x′y′(5.506×10-3，3.474×10-3, 0)，该向量位于第1象限，m=1，代入公式(10)，得结构面倾向为57.8°.故如图 7所示结构面的产状为57.8°∠68.4°.
3. 结论
(1) 本文提出了一种利用单个钻孔孔壁电视图像确定岩体结构面产状的数学方法，适应于任一开孔坡面上的竖直、水平、倾斜钻孔，不受钻孔及坡面倾角的限制，具有普适性.该方法通过孔壁电视图像上结构面的不共线三点的二维坐标，采用空间坐标变换求出其三维坐标的空间法向量，根据公式(9)和公式(10)可分别准确地确定结构面的倾角和倾向.
(2) 由该方法的推导可知，只要钻孔方向不在水平方向偏转，已知钻孔倾角、孔径、坡面产状及电视图像结构面上任意3个不共线点的二维相对坐标，就可以确定该结构面的产状.故可很好地编写成程序，通过简单地输入上述参数，就可得到结构面的产状，具有较强的适用性和推广性.
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图 1 含结构面孔壁及三维直角坐标系
Fig. 1. Borehole wall including discontinuity and its 3D rectangular coordinates
图 2 孔壁电视图平展及二维直角坐标系
Fig. 2. Setting-out TV image of borehole wall and its two-dimensional rectangular coordinates
图 3 含结构面孔壁与斜坡面关系
Fig. 3. Relationship of borehole wall including discontinuity and drilling slope
图 5 结构面法向量在水平面投影示意
Fig. 5. Projection of normal vector of discontinuity in the horizontal plane
图 6 斜坡上倾斜钻孔电视孔壁平展图
Fig. 6. Setting-out TV image of inclined borehole wall of inclined slope
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