岩体变形参数的确定对岩体稳定性模拟至关重要, 它是国内外岩石力学界研究的前沿课题.在国外, Barton et al. (1974)、Goodman (1981)、Bieniawski (1978)、Hoek and Brown (1980)和Kawamoto et al. (1988)等学者在大量试验、统计与反分析的基础上对工程岩体分类与参数估算进行了各有侧重的研究.在国内, 孙均和冯紫良(1993)、于青春等(1995)、周创兵和於三大(1999)、陈波等(2001)、胡云进等(2001)、张有天(2003)和黄润秋等(2004)对岩体变形模量从不同的角度做过系统的研究.

确定岩体变形参数最常用的是等效连续介质法.等效连续介质法将岩体近似看作连续介质, 通过等效处理获取岩体的宏观变形参数, 它从本质上来说是一种近似处理的方法.

岩体等效连续介质法可以助于岩体结构面网络模拟加以实现.较实用的三维网络模型有2种: 一种是Long JCS在假定岩体中裂隙发育呈圆盘状的基础上提出的圆盘裂隙网络模型; 另一种是Dershowitz WS的多边形裂隙网络模型.陈剑平等(1995)、周火明等(2001)和贾洪彪等(2002)已编制了不同版本的岩体结构的三维网络模拟程序.目前, 平面网络模拟技术已得到较广泛的应用, 三维网络模拟成果则相对较少, 精度不高.

本文运用岩体等效连续介质方法, 从岩体结构面网络模拟为基础, 提出了确定规则裂隙和不规则裂隙岩体等效变形参数的一种模型, 探讨岩体等效变形参数的规律.

1.   规则裂隙岩体的等效变形参数

基于离散介质数值分析方法可以确定岩体等效变形参数, 并可得出岩体等效变形参数的一般规律.

1.1   岩体模型

图 1为沿z方向厚度为1的规则岩体, 内含两组正交裂隙, 其中一组与x轴垂直, 相邻裂隙面垂向间距为dx, 裂隙面法向刚度为K_nx, 剪切刚度为K_sx; 另外一组与y轴垂直, 裂隙间距为dy, 裂隙面法向刚度为K_ny, 剪切刚度为K_sy; 岩块为各向同性连续介质, 其弹性模量为E, 泊松比为v.

图  1  单位厚度的规则裂隙岩体

Fig.  1.  Rock mass with regular fracture in unit thickness

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假设所分析的问题为xy平面内的平面应变问题.并且假定dx、dy相对于所研究的岩体尺寸而言足够小.

1.2   等效柔度矩阵的解析解

根据朱伯芳(2000)、Min and Jing (2003)等人的研究, 以上裂隙岩体的线弹性本构关系可以表述为:

上式中, σ_kl表示连续介质内某点的应力状态, 为二阶张量; ε_ij表示应变状态, 为二阶张量.由于所分析的问题为平面应变问题, ε_z=0;依据这一关系, 由式(1) 可以求解出用σ_x、σ_y表示的σ_z:

将式(2) 代入式(1), 消除与z有关的项, 同时将γ_xy替换成2ε_xy, 可得:

所以对于图 1所示的含两组正交裂隙规则岩体的平面应变问题, 其在原始坐标系下的柔度矩阵[S]可以表示为:

由式(4)即可求解此平面裂隙岩体在任何旋转坐标系下的柔度矩阵[S′]:

1.3   等效变形参数的确定

图 2为旋转坐标系x′oy′中的规则裂隙岩体, 沿方向取单位厚度, 假设为平面应变问题, 采用各向异性连续介质理论, 该岩体在旋转坐标系x′y′中的本构关系可以表示如下:

图  2  旋转坐标系中的规则裂隙岩体

Fig.  2.  Rock mass with regular fracture in rotating coordinate system

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上式中, η_{x, yz}、η_{x, xz}、η_{x, xy}、η_{y, yz}、η_{y, xz}、η_{y, xy}、η_{z, yz}、η_{z, xz}、η_{z, xy}为第一类影响系数, η_{i, jk}表示jk平面内的剪切应力所导致的i方向的拉伸变形; η_{yz, x}、η_{xz, x}、η_{xy, x}、η_{yz, y}、η_{xz, y}、η_{xy, y}、η_{yz, z}、η_{xz, z}、η_{xy, z}为第二类影响系数, η_{ij, k}表示k方向的轴向应力所导致的ij平面内的剪切变形.

由于所有结构面均与x′y′平面垂直, 所以式(6) 中的E_z′直接等于岩块的弹性模量E, 而v_z′x′、v_z′y′则等于岩块的泊松比v; 另外, 因为不存在沿z方向的轴向变形(ε_z′=0), 所以η_{x′y′, z′}=0.因此, 式(6) 右侧系数矩阵中的第三列可以完全确定, 由于对称性, 第三行中的所有项也可以相应确定.然后再由ε_z′=0, 可以求解出由σ_x′、σ_y′、τ_x′y′表示的σ_z′的表达式.进而可以将式(6) 变换成如下的形式:

将式(7) 右侧系数矩阵中的各项与式(5) 所示柔度矩阵中的各项逐项对比, 便可完全确定旋转坐标系x′y′中裂隙岩体的所有等效力学参数.

1.4   等效变形参数随方位的变化关系

下面给图 1和图 2中的岩体赋一组参数, 研究坐标系旋转角度发生变化时, 岩体各项等效变形参数的变化规律.岩块参数: 弹性模量E=50 GPa, 泊松比v=0.25;与x轴垂直的裂隙面参数: 法向刚度K_nx=50 GPa/m, 剪切刚度K_sx=50 GPa/m, 相邻裂隙面垂向间距dx=0.5 m; 与y轴垂直的裂隙面参数: 法向刚度K_ny=25 GPa/m, 剪切刚度K_sy=25 GPa/m, 相邻裂隙面垂向间距dy=0.5 m.

表 1为旋转坐标系相对原始坐标系旋转角度ϕ分别取0°, 30°, …, 360°等12个不同值时, 与旋转坐标系一致方向上的等效变形参数的计算结果.

表  1  不同方向上等效变形参数计算结果

Table  Supplementary Table   Computed results of equivalent deformability parameters in different directions

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依据表 1计算结果, 可以在极坐标系中绘制各项等效力学参数随旋转角ϕ变化的拟合关系曲线(图 3).

图  3  岩体等效变形参数随旋转角ϕ变化关系曲线

Fig.  3.  Relation curve between equivalent deformability parameter and rotation angle ϕ

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2.   不规则裂隙岩体等效变形参数的确定

对于不规则裂隙岩体, 难以确定其等效柔度矩阵的解析解; 此时, 可借助数值分析方法确定其等效变形参数.

2.1   由数值分析结果反演岩体等效变形参数

以图 4中ABCD所圈闭范围内的岩体为例, 如果岩体能够视为等效连续介质, 则对于平面应变问题, 在坐标系xoy内, 其本构关系可写为:

图  4  等效变形参数求解图示

Fig.  4.  Solving diagram of equivalent deformability parameter

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上式中, E为岩块的弹性模量, v为岩块的泊松比; 其他符号意义同前.

给岩体施加图 4右侧的边界条件1, 则岩体在xoy坐标系内的等效应力状态分量可以表述为:

采用有限元数值方法模拟岩体在给定边界荷载下的变形, 并基于变形结果计算岩体的等效应变状态分量.然后将这一对等效应力、应变状态分量代入式(8), 可得如下方程组:

假定已知岩块参数E、v, 则依据方程组(10) 中的(b) 式即可求解y方向的等效弹性模量E_y, 然后由(a)、(c) 式可分别求得v_yx和η_{xy, y}.同样, 由边界条件2所对应的等效应力、应变状态分量可求解E_x、υ_xy和η_{xy, x}, 由边界条件3所对应的等效应力、应变状态分量可求解G_xy、η_{x, xy}和η_{y, xy}.至此, 式(8)中所有的岩体等效变形参数均已求出.

2.2   不规则裂隙岩体REV_s的确定

REV_s是指岩体的等效变形参数同时满足类张量特性和类常量特性的最小尺寸.只要REV_s存在, 而且REV_s相对所要分析岩体的尺寸而言足够小, 就可以采用等效连续介质理论来分析该岩体的变形特征.

REV_s范围内的岩体, 其等效变形参数必须同时满足类张量特性和类常量特性.所以, 针对一具体的岩体, 要确定其REV_s, 首先必须从中截取不同大小的分析模型, 对比研究等效变形参数随分析域尺寸的变化, 以校验类常量特性.另外, 还要对比研究不同方向上的等效柔度矩阵是否满足相应的坐标转换关系, 以校验类张量特性.

要获取岩体在不同方向上的等效柔度矩阵, 可以充分利用模型的对称性, 使计算工作量降到最低.如要获取12个不同方向上的等效柔度矩阵, 只用在3个不同方向上选取计算模型, 然后再给每个计算模型分别施加3种线性不相关的荷载边界条件, 即总共只需要进行9次计算, 就可以完全确定12个不同方向上的等效柔度矩阵.

表 2中列出了相关的计算模型和荷载条件.表中的三行表示3种不同的荷载边界条件.

表  2  确定12个不同方向上等效柔度矩阵时所需要建立的分析模型和荷载条件

Table  Supplementary Table   Analysis models and loading conditions needed for equivalent flexibility matrix in twelve directions

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3.   算例

3.1   分析模型

某岩体尺寸为15 m×15 m, 内含三组结构面, 各组结构面几何形态参数及力学参数如表 3.岩块弹性模量为50 GPa, 泊松比为0.25.

表  3  结构面几何形态参数及力学参数

Table  Supplementary Table   Geometric shape parameters and mechanical parameters of the structural plane

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3.2   类常量特性的校验

首先围绕岩体中心选取10个不同尺寸的分析域, 分析域尺寸分别取为1 m×1 m, 2 m×2 m, …, 10 m×10 m.令分析域的方向与整体坐标系方向一致.

给各个分析域分别施加图 5所示的3种线性不相关的荷载边界条件, 进行变形场模拟, 依据模拟结果可以得到各个模型在0°方向上的等效柔度矩阵.

图  5  3种线性不相关的荷载边界条件

Fig.  5.  Three kinds of linear uncor related load boundary conditions

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表 4中列出了各个分析模型所对应的等效柔度矩阵中的主对角元素项.表中还同时列出了依据主对角元素项所计算得到的各分析模型的等效弹性模量和等效剪切模量.不难看出, 当分析域尺寸取5 m×5 m或更大值时, E_x、E_y、G_xy的计算值都已落入误差允许范围以内, 而且随分析域尺寸的变化不再有明显变化.

表  4  不同尺寸分析域等效模量计算结果对比

Table  Supplementary Table   Comparison of equivalent modulus computed results under different dimension analysis domains

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3.3   REV_s及等效变形参数的综合确定

综合以上分析, 可以将岩体的REV_s取为5 m×5 m.岩体的等效柔度张量可以用5 m×5 m分析域所对应的12个转换矩阵的平均值表征:

另外依据以上平均等效柔度矩阵, 还可以计算岩体在与整体坐标系一致方向上的等效变形参数.

4.   结论

本文提出了确定规则裂隙和不规则裂隙岩体等效变形参数的一种模型, 该模型较好地反映了岩体等效变形参数的基本规律.通过该模型并结合岩体结构面网络特点, 我们可得如下结论:

(1) 岩体等效变形参数具有明显的规律性.一般情况下, 岩体的等效弹性模量小于岩块的弹性模量, 并小于结构面的变形刚度.

(2) REV_s与结构面各几何形态要素有关.一般来说, 平均迹长越大, REV_s的取值越小; 平均间距越小, REV_s的取值越小; 方向角的方差越大, 结构面分布越凌乱, REV_s的取值越小.总体来说, 结构面网络中的交点数目越多, 结构面连通性越好, REV_s的取值越小.

(3) 结构面变形参数与岩块变形参数的差异程度对REV_s的取值没有明显影响, 不会因为结构面变形参数与岩块变形参数差异程度的加大, 而导致REV_s取值的增加.但是, 不同组系结构面, 或是同一组中的各条结构面, 其变形参数差异越小, REV_s的取值将越小.

(4) REV_s具有尺度效应和不确定性.如果考虑的结构面级别不一样, REV_s将有不同的取值; 而且随判别标准的变化, REV_s的量值也将会发生变化.