Adaptive Quantum Genetic Inversion Algorithm for One-Dimensional Magnetotelluric Inverse Problem
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摘要: 将量子遗传算法引入到层状介质大地电磁数据的反演, 得到了层状介质的大地电磁量子遗传反演法.数值试验结果发现该算法仍然存在较严重的早熟收敛现象.为此, 将自适应思想引入到量子遗传算法中来, 通过动态调整量子遗传算法的模型搜索空间, 建立了一种新的改进型量子遗传算法——自适应量子遗传算法, 使算法在迭代过程中能自适应地寻找模型最优值.通过典型测试函数和层状介质大地电磁模型数值试验, 结果表明, 改进算法有效压制了常规量子遗传算法的早熟收敛性, 提高了算法的搜索效率和反演效果.采用该算法对实际的大地电磁资料进行了处理, 取得了较好的地质效果.Abstract: This paper applied the conventional quantum genetic algorithm (QGA) to solve the nonlinear magnetotelluric inverse problem of layered model.However, the conventional QGA shows a premature convergence problem throughout our numerical experiments.In order to overcome the shortcoming of premature convergence, we improved the conventional QGA with automatically adjusting the size of model space with different scales, and eventually developed a novel method, referred as to adaptive quantum genetic algorithm (AQGA), for the inversion of magnetotelluric data.The validity of AQGA method is demonstrated by some optimization test functions and synthetic magnetotelluric models.The results show that AQGA mitigate the premature convergence and improve the efficiency and accuracy of inverted models.The obtained models using AQGA for magnetotelluric field data are well agreed with geological structure, which inferred that the improved AQGA method is powerful for the nonlinear optimization problem.
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Key words:
- adaptive /
- quantum genetic algorithm /
- MT /
- inversion /
- nonlinear optimization /
- geophysical prospecting.
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大地电磁资料的反演一直是MT的核心问题之一.为此, 许多地球物理学家提出了各种各样的反演方法(杨文采, 1997; 王家映, 1998), 主要分为线性和非线性方法.线性方法收敛速度快, 理论最为成熟, 在反演中应用最为广泛, 但反演结果依赖于初始模型的选择, 容易陷于局部极小.因此, 一些非线性方法陆续被引入到地球物理反演中.目前最具有代表性的非线性反演方法是蒙特卡洛法(Monte-Carlo, 简称MC) (姚姚, 1997; 王家映, 2007)、模拟退火法(simulated annealing, 简称SA) (师学明和王家映, 1998) 和遗传算法(genetic algorithm, 简称GA) (师学明等, 2000).这3种方法克服了线性方法的缺点, 具有全局收敛性, 但蒙特卡洛与模拟退火两种方法计算时间长, 收敛速度慢, 遗传算法存在有效基因丢失和早熟收敛问题.因此, 探索和研究新的高效反演算法, 对大地电磁资料的处理与解释具有非常重要的理论意义和实用价值.
量子遗传算法(quantum genetic algorithm, 简称QGA) 是一种量子计算理论(Han and Kim, 2002) 与进化算法相结合的概率搜索的优化方法, 它利用了量子态(quantum state) 的叠加性(superposition) 和相干性(coherence), 以及量子位(qubit) 之间的纠缠性(entanglement), 染色体采用量子位编码来代替传统遗传算法染色体的二进制、浮点数或符号等编码, 是一种量子概率的叠加态表示, 使算法具有量子计算的并行特征, 并能产生量子隧道效应.另外, 量子遗传算法用量子旋转门完成种群的更新, 代替传统遗传算法中种群通过选择、交叉和变异来保证全局寻优的成功.量子遗传算法以其强大的寻优能力已应用于电力(侯云鹤等, 2004; 娄素华等, 2005a, 2005b; 伍亚萍等, 2006)、图像处理(李映和焦李成, 2003; 杨俊安等, 2003; 邵桂芳等, 2005) 等领域.
量子遗传算法虽然是一种高效的并行算法, 但它容易陷入局部极值.为了进一步扩大量子遗传算法的应用范围, 研究者们提出了一系列的改进, 如引入多宇宙概念和量子变异(杨俊安等, 2004)、分层分组概念(郭海燕等, 2004)、群体灾变和自适应搜索网格(范晓志和扈鹏, 2007)、多尺度(罗红明, 2007) 等.本文在常规量子遗传算法反演研究基础上, 将自适应思想引入到量子遗传算法中来, 通过动态调整量子遗传算法的模型搜索空间, 建立了一种新的改进型量子遗传算法——自适应量子遗传算法, 使算法在迭代过程中能自适应地寻找模型最优值, 以提高量子遗传算法的搜索效率和寻优效果.将该算法用于大地电磁资料的处理与解释, 取得了良好的地质效果.
1. 量子遗传算法
1.1 量子位与量子编码
经典信息的单元是经典位.在经典二进制中, 它可取0和1两个值中的一个.量子信息的基本单元是量子位, 它可表示为:
(1) 式(1) 中, |α|2表示|0〉态的概率, |β|2表示|1〉态的概率.
本文采用多量子比特来编码多状态基因, 如下所示:
(2) 式(2) 中,
1.2 量子旋转门
作为演化操作的执行机构, 根据量子遗传算法的计算特点, 量子旋转门较为合适.量子旋转门操作如下:
(3) 式(3) 中, θ为量子门的旋转角, 取值为:
(4) 式(4) 中, k是一个与算法收敛速度有关的系数, k的取值必须合理选取.如果k值太大, 算法搜索网格就很大, 容易出现早熟现象, 算法易收敛于局部极值点; 反之, 如果k值太小, 算法搜索的网格就很小, 速度太慢, 甚至会处于停滞状态.因此, 将k视为一个与进化代数有关的变量, 以便自适应地调整搜索网格的大小.如取一个指数函数型的k值为: k=10·exp (-t/max), 其中, t为进化代数, maxt为最大搜索的代数.
函数
表 1 搜索函数
这样, 就可以用(3) 式的量子旋转门引导和更新当前第i个体的第j量子位的概率幅, 使其向全局最优解方向搜索, 从而完成一次量子遗传过程.更新算法为:
(5) 式(5) 中, t为进化过程中当前的代数,
2. 自适应量子遗传算法
数值试验结果表明, 采用常规的量子遗传算法对大地电磁资料进行反演, 仍然存在较严重的早熟收敛现象.其原因主要是模型参数的搜索空间过大.我们希望在反演过程中能自动调整模型搜索空间的大小, 为此, 引入动态调整模型搜索空间的思想.
如图 2所示, 初始搜索空间为[m1, m2], 最优解为m0.若m1和m2值较大, 如图 2a所示, 第一尺度常规量子遗传操作可以搜索到当前解m′, 设m1和m′之间的空间距离为a1, m2和m′之间的空间距离为a2, 比较a1、a2的大小, 以其中较小者a2作为下一尺度搜索空间的大小, 搜索空间为[m′-a2, m2]=[m1′, m2], 如图 2b所示, 第二尺度搜索到当前解m′, 继续缩小搜索空间, 直到搜索到最优解.
这种动态自适应地调整模型空间的方法有时候也会出现“早熟”问题.如图 2c所示, 如果某一尺度下搜索到当前解m′, 以m′与m2之间的空间距离作为下一尺度的搜索空间时, 由于不包含最优解, 每次迭代都无法搜索到全局最优, 导致“早熟”问题.因此, 基于此种情况, 加入粒子轰击思想, 即以适应度为标准, 当适应度变化很小甚至不变时, 可认为“早熟”, 加入一粒子进行一次随机轰击, 使得搜索空间随机改变到一个较大范围, 重新进行量子遗传操作, 从而有效地避免了“早熟”现象的发生, 以更大的几率搜索到全局最优解.
3. 大地电磁测深资料的反演
对于水平均匀层状介质的反演, 其阻抗递推公式为:
(6) 其中, Z (ω) 为表面阻抗, ρi为第i层的电阻率, hi为第i层的厚度,
(7a) 
(7b) 选取拟合度函数为:
(8) 式中: fe为拟合度值, Ep为视电阻率的误差, Eϕ为阻抗相位的误差, α为视电阻率的加权系数, β为阻抗相位的加权系数, 满足α+β=1.其中:
(9) 
(10) 式中: ρai、ϕci分别为第i个频点的观测视电阻率和阻抗相位值, ρci、ϕci为第i个频点的计算视电阻率和阻抗相位值, M为观测频点数.在此, 我们只用视电阻率进行拟合.
自适应量子遗传算法的具体步骤如下: (1) 初始化.根据反演参数的多少以及问题的复杂程度来确定反演的尺度、种群的大小等, 并将所有的量子位概率幅元素的绝对值初始化为
3.1 两层(D型) 模型
下面以两层(D型) 大地电磁测深层状理论模型为例, 与常规量子遗传算法QGA做比较.常规量子遗传算法QGA种群个体数为50, 遗传代数为100, 变异概率为0.01, 误差阈值为0.001, 自适应量子遗传算法AQGA尺度为20, 每个尺度循环代数为30, 种群个体数为30, 变异概率为0.01, 误差阈值为0.001, 反演模型参数的模型空间和分辨率如表 2所示, 模型参数及反演结果如表 3所示, 视电阻率及相位拟合曲线如图 3所示.
表 2 两层D型层状介质的模型空间和分辨率Table Supplementary Table Model space and resolution for two-layer (D-type) model
表 3 两层D型模型的QGA和AQGA方法的反演结果Table Supplementary Table Inversion results using QGA and AQGA for two-layer (D-type) model
图 3 常规量子遗传算法(QGA)和自适应量子遗传算法(AQGA)反演结果及拟合度曲线Fig. 3. Inversion results and fitness curves using QGA and AQGA methods图 3a为常规量子遗传算法(QGA) 反演的视电阻率和阻抗相位曲线与原始数据的对比图, 图 3b为QGA法拟合度随迭代次数变化的曲线图, 其中黑点曲线为模型群体中最好模型的最佳适应度值, 圆圈曲线为模型群体的平均适应度值.图 3c为自适应量子遗传算法(AQGA) 反演的视电阻率与阻抗相位曲线与原始数据的对比图, 图 3d为AQGA法拟合度随迭代次数变化的曲线图, 黑点曲线为最佳模型的最佳适应度值, 圆圈曲线为模型群体的平均适应度值.从图 3d可以看出, 每个尺度迭代20次, 随着尺度的增大, AQGA方法在每个尺度的最佳拟合值和平均拟合值呈现越来越好的趋势, 到40次迭代次数以后, 拟合值趋近于1, 尽管常规的量子遗传算法迭代次数已经增加到100次左右, 但是拟合值还非常低.由此可见, AQGA方法具有比常规QGA方法更强的空间搜索能力, 具有更好的适用性.
3.2 抗噪声试验
为了模拟实际的大地电磁观测数据, 还分别对添加了5%、10%和20%的随机高斯误差的数据进行了反演.参数及反演结果如表 4所示, 视电阻率及相位拟合曲线如图 4所示.
表 4 两层D型模型的加噪数据AQGA法反演结果Table Supplementary Table Inversion results for random gauss noised data of two-layer model (D-type) using AQGA method
图 4 不同高斯随机噪声水平情况下两层D型模型AQGA法的反演结果a.0%噪声; b.5%噪声; c.10%噪声; d.20%噪声Fig. 4. Inversion results for different random noise level data for two-layer model (D-type) using AQGA method表 4及图 4说明, 对于不同噪声水平的数据, AQGA法都能反演出比较满意的结果, 表明该方法具有较强的抗噪能力.
3.3 四层HK型层状介质
四层HK型层状介质的反演参数为: 尺度为20, 每个尺度循环代数为50, 种群个体数为50, 变异概率0.01, 误差阈值0.001, 反演参数的模型参数取值范围和分辨率如表 5所示.取10次反演结果平均值作最终结果, 如表 6所示.反演结果如图 5所示.
表 5 四层HK型层状介质的模型空间和分辨率Table Supplementary Table Model space and resolution for four-layer model (HK-type)
表 6 四层HK型层状介质的AQGA法反演结果Table Supplementary Table Inversion results for four-layer model (HK-type) using AQGA method
图 5 AQGA法的反演结果曲线对比(a) 及误差曲线(b)Fig. 5. Inversion results (a) and error curve (b) using AQGA method for four-layer model (HK-type)从AQGA法的反演结果及误差曲线图, 可以看出: (1) 自适应量子遗传算法的反演效果较好, 有更大的概率搜索到最优值; (2) 从模型空间来看, 自适应量子遗传算法能在较大模型范围内搜索到最优值, 说明自适应量子遗传算法比常规遗传算法有更大的全局搜索能力; (3) 采用粒子轰击, 能有效地压制常规遗传算法的早熟现象.
总的来看, 自适应量子遗传算法能更好地逼近真实模型, 有更强的空间搜索能力和全局收敛性.
3.4 实测资料反演
为检验方法的有效性, 选择了江西鄱阳盆地A测线的4号测点的实测大地电磁资料进行反演.图 6a中圆圈是实测资料, 黑点是反演结果的拟合曲线, 反演结果较好地拟合了观测数据.表 7是反演的各层电性参数图, 图 6b是根据反演结果绘制的地质结构, 从图可以看出, 该测点下地层从浅到深的分布为: 第一层电阻率比较低, 一般在几十欧姆米, 推断为第四系-白垩系地层(Q-K); 第二层电阻率为次高阻, 一般在几百欧姆米左右, 推断为上古生界海相碳酸盐岩和含煤碎屑岩(Pz2) 地层; 第三层电阻率为高阻, 电阻率一般在几千欧姆米, 推断为中元古界变质岩系(Pt2) 组成.这个结果与该区的地质情况基本吻合, 也与其他地球物理资料所揭示的地质情况相吻合.
表 7 实测数据的AQGA法反演结果Table Supplementary Table Inversion results of observed MT data using AQGA method
4. 结论
本文详细分析研究了量子遗传算法的基本原理和步骤, 用两层D型模型进行了反演和算法的抗噪声试验, 同时用四层HK型进行了多参数反演的试验, 验证了量子遗传算法在大地电磁资料反演处理中应用的可能性, 并在此基础上提出了自适应量子遗传算法, 编制了相应的程序, 同时对测试函数和其他理论模型进行了大量的数值试验, 得出如下结论:
(1) 将自适应量子遗传算法应用于大地电磁测深资料的反演, 对理论模型与实测资料进行了反演.结果表明, 自适应量子遗传算法不依赖于初始模型, 具有全局收敛性和强大的全局搜索能力, 以及较强的抗噪能力, 而且不因为反演参数的增加而降低精度, 是解决一维层状介质MT反演问题的有效途径, 同时具有解决复杂地球物理反演问题的潜质.
(2) 自适应量子遗传算法应用于地球物理领域是成功的, 对于解决非线性、多参数和多极值的地球物理反演问题是有效的, 且不受初始条件的约束, 具有极强的适应性.
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图 3 常规量子遗传算法(QGA)和自适应量子遗传算法(AQGA)反演结果及拟合度曲线
Fig. 3. Inversion results and fitness curves using QGA and AQGA methods
图 4 不同高斯随机噪声水平情况下两层D型模型AQGA法的反演结果
a.0%噪声; b.5%噪声; c.10%噪声; d.20%噪声
Fig. 4. Inversion results for different random noise level data for two-layer model (D-type) using AQGA method
图 5 AQGA法的反演结果曲线对比(a) 及误差曲线(b)
Fig. 5. Inversion results (a) and error curve (b) using AQGA method for four-layer model (HK-type)
表 1 搜索函数
Table 1. The value of optimizing search function
表 2 两层D型层状介质的模型空间和分辨率
Table 2. Model space and resolution for two-layer (D-type) model
表 3 两层D型模型的QGA和AQGA方法的反演结果
Table 3. Inversion results using QGA and AQGA for two-layer (D-type) model
表 4 两层D型模型的加噪数据AQGA法反演结果
Table 4. Inversion results for random gauss noised data of two-layer model (D-type) using AQGA method
表 5 四层HK型层状介质的模型空间和分辨率
Table 5. Model space and resolution for four-layer model (HK-type)
表 6 四层HK型层状介质的AQGA法反演结果
Table 6. Inversion results for four-layer model (HK-type) using AQGA method
表 7 实测数据的AQGA法反演结果
Table 7. Inversion results of observed MT data using AQGA method
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